Matematická analýza - skripta

Pro jednoduchost značení se dále domluvme, že v celé kapitole budeme před-

pokládat, že

x0 ∈ (a, b) ⊂ Df .

Počítáním limit a derivací na kraji definičního oboru (či případem se složitějším
definičním oborem) se budeme zabývat později.

Upozorněme také, že ve většině vysokoškolských učebnic se nejprve probírají

limity posloupností a teprve později se autoři věnují funkcím. K tomuto přístupu
jsou didaktické důvody. Naše skripta jsou ale určena pro studenty, kteří mate-
matiku aplikují v jiných vědách a pro ně je tedy důležité poměrně rychle dospět
k pojmu funkce a definovat si základní pojmy: limity funkcí, spojitost a derivaci.
Teprve později se vrátíme k pojmu limita posloupnosti, protože i s ním budeme
samozřejmě potřebovat pracovat. Postup, kterým se co nejrychleji propracujeme
k pojmu funkce a definujeme všechny základní pojmy, má také svá negativa. Ně-
která tvrzení budeme potřebovat dříve, než je budeme schopni dokázat. Protože
ale nepůjde o důkaz kruhem, není to žádný problém a tato didaktická oběť splní
svůj účel; na konci této kapitoly zavedeme rigorózně všechny elementární funkce
a budeme schopni s nimi pracovat.

Budeme zde sice probírat témata, která běžně bývají součástí středoškolské

látky, ale půjdeme mnohem více do hloubky a budeme řešit obtížnější úlohy.
Právě řešení obtížných úloh a práce se složitějšími funkcemi než jsou polynomy či
takzvané elementární funkce vyžadují opustit neopatrný zmechanizovaný přístup

49

50

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

k matematice, který by mohl v některých případech vést k nepravdivým výsled-
kům.

3.1

Limita funkce

Limita funkce je jeden z nejzákladnějších pojmů matematické analýzy, pomocí
něhož se později definují další důležité pojmy jako jsou derivace, primitivní funkce,
určitý integrál nebo součet řady. Počítat limity budeme potřebovat snad ve všech
kapitolách. Navíc budeme muset umět s tímto pojmem pracovat i v důkazech vět.
A to dokonce i v tak pokročilých partiích, jako jsou třeba parciální diferenciální
rovnice.

Definice 3.1.1 (Definice limity funkce). Nechť f : R → R, x0 ∈ R

∗ a A ∈ R∗.

Řekneme, že A je limitou funkce f pro x jdoucí k x0, jestliže pro každé ε > 0
existuje δ > 0 takové, že

x ∈ Pδ(x0)

=⇒

f (x) ∈ Uε(A).

V takovém případě píšeme limx→x

0 f (x) = A, f (x) → A pro x → x0 , nebo také

f (x)

x→x0

−→ A.

b

A

A + ε

A − ε

x0

x0 − δ

x0 + δ

Obrázek 3.1: Limita funkce: pro dané ε > 0 hledáme δ > 0 tak, aby na množině
(x0−δ, x0+δ)\{x0} byl graf funkce uvnitř obdélníku o rozměrech 2δ×2ε se středem
v bodě (x0, A). Tento bod ale bodem grafu být nemusí a (x0, f (x0)) nemusí v tomto
obdélníku ležet či nemusí být vůbec definován.

Právě definovaný pojem si nejprve ilustrujme na několika příkladech, pak se

budeme věnovat jeho vlastnostem.