Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
|A|
2
=
|A|
2
.
Nyní již můžeme přistoupit ke slíbeným větám, které nám ušetří mnoho práce
při počítání limit.
3.1. LIMITA FUNKCE
57
Věta 3.1.24 (Aritmetika limit). Nechť f, g : R → R, x0 ∈ R, A, B ∈ R a nechť
limx→x
0 f (x) = A a limx→x0 g(x) = B . Pak
(i) limx→x
0
f (x) + g(x)
= A + B
(ii) limx→x
0 f (x)g(x) = AB
(iii) pokud navíc platí B 6= 0, máme limx→x
0
f (x)
g(x) =
A
B .
Důkaz. (i) Zvolme ε > 0. Podle předpokladu existují δ1, δ2 > 0 taková, že
x ∈ Pδ
1 (x0 ) =⇒ |f (x) − A| < ε
a
x ∈ Pδ
2 (x0 ) =⇒ |g(x) − B | < ε.
Položíme-li δ = min{δ1, δ2} > 0, na Pδ(x0) platí obě výše uvedené nerovnosti
a dostáváme
|f (x) + g(x) − (A + B)| ≤ |f (x) − A| + |g(x) − B| < 2ε.
Protože ε > 0 bylo libovolné, jsme hotovi (čtenáři zde doporučujeme, aby si při-
pomněl ekvivalentní definice limity z Poznámky 3.1.9 (ii)).
(ii) Zvolme ε > 0. Je-li δ > 0 dostatečně malé (upřesníme níže), máme
|f (x)g(x) − AB| = |f (x)g(x) − f (x)B + f (x)B − AB|
≤ |f (x)||g(x) − B| + |B||f (x) − A| < (|A| + |B| + 1)ε.
Zvolili jsme δ = min{δ1, δ2, δ3}, kde δ1, δ2 > 0 bereme jako v části (i), a δ3 > 0
získáme aplikací Věty o vztahu limity a omezenosti (Věta 3.1.21), tedy
x ∈ Pδ
3 (x0 )
=⇒
|f (x)| ≤ |A| + 1.
(iii) Protože již máme dokázanou část (ii), stačí nám ověřit jednodušší tvrzení
limx→x
0
1
g(x) =
1
B . Zvolme ε > 0. Je-li δ > 0 dostatečně malé (upřesníme níže),
máme
1
g(x)
−
1
B
=
B − g(x)
g(x)B
=
|g(x) − B|
|g(x)||B|
≤
ε
|B|
|B|
2
=
2
B2
ε.
Zde volíme δ = min{δ2, δ4}, kde δ2 > 0 je jako v části (i) a δ4 > 0 jsme získali
aplikací Věty o nenulové limitě a odraženosti od nuly (Věta 3.1.23), tedy
x ∈ Pδ
4 (x0 )
=⇒
|g(x)| ≥
|B|
2
.
Poznámka 3.1.25. (i) Všechny části věty jsou opět implikace, které nelze obrátit.
Například při volbě x0 = 0, f (x) = sign x a g(x) = − sign x jednotlivé limity
neexistují, zatímco limita součtu existuje.
(ii) Podmínka B = 0 ve třetí části věty se nedá vypustit. Jednak by nám pak
hrozila nevlastní limita, ale ani výraz
0
0 se nedá interpretovat jednoznačně, jak
ukazují následující příklady
lim
x→0
x
x
= 1
lim
x→0
2x
x
= 2
lim
x→0
−x
x
= −1
lim
x→0
0
x
= 0.
58
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
(iii) Aritmetika limit se dá aplikovat vícenásobně. Pokud například platí (x0 ∈ R
a A, B, C ∈ R)
lim
x→x0
f (x) = A
lim
x→x0
g(x) = B
lim
x→x0
h(x) = C,
pak limx→x
0 (f (x) + g(x) + h(x)) = A + B + C . Skutečně, první aplikací aritmetiky
limit dostáváme limx→x
0 (f (x) + g(x)) = A + B a druhá aplikace dává
lim
x→x0
(f (x) + g(x) + h(x)) = lim
x→x0
(f (x) + g(x)) + h(x)
= lim
x→x0
(f (x) + g(x)) + lim
x→x0
h(x) = (A + B) + C.
(iv) Ve větě jsme nezmínili pravidlo pro výpočet limity rozdílu, které se dá snadno
odvodit z pravidel (i) a (ii). Skutečně, nejprve máme podle (ii)
lim
x→x0