Matematická analýza - skripta

nenabývá limitní hodnoty 0 na jistém oklolí počátku. K tomu si stačí přepsat

x

3 − x2 = x2(x − 1)

a vidíme, že

x ∈ P1(0)

=⇒

x

3 − x2 6= 0.

Můžeme tedy použít Větu o limitě složené funkce I (Větu 3.1.46) a dostáváme

lim

x→0

p

1 + x3 − x2 = 1.

I

Poznámka 3.1.49. Při používání aritmetiky limit jsme narazili na situaci, kdy
neekvivalentní úprava požaduje předpoklad, o jehož splnění se dozvíme až na konci
výpočtu. Při počítání limit složených funkcí se s předpokladem na nenabývání
limitní hodnoty dostáváme do odlišné situace, kdy na jednu stranu s ověřením
předpokladu nemusíme na nic čekat, na druhou stranu se jedná o jakýsi boční
výpočet, na který je mnohem snazší zapomenout.

Vyřešme ještě jednu úlohu. Tentokrát neuvedeme přímo vzorové řešení, cestou

budeme trošičku tápat, aby si čtenář mohl udělat představu, jaká úskalí musí
překonat řešitel těžší úlohy. Příklady v různých skriptech totiž typicky vytváří
jakýsi nereálný svět, v němž lze vždy na příklady použít právě probíranou látku a
všechny potřebné předpoklady jsou splněny. Z ověřování předpokladů se pak stává
rutina, kterou student provádí jen proto, že to učitel vyžaduje.

Úloha 3.1.50. Spočtěte limx→0

3

q

x sin

1

x .

66

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Řešení:

Přímo z definice limity se dá ukázat, že limy→0 3

√

y = 0. Protože už také

víme, že limx→0 x sin(

1

x ) = 0, jeví se jako přirozené použít Větu o limitě složené

funkce I (Věta 3.1.46) k získání výsledku limx→0

3

q

x sin

1

x = 0. Tuto větu však

použít nemůžeme, neboť

x sin

1

x

= 0

kdykoliv

x =

1

kπ

, k ∈ Z \ {0}

a takových bodů je v každém prstencovém okolí počátku dokonce nekonečně mno-
ho. Jsme tedy zase na začátku (když nemůžeme použít nějakou větu, neznamená
to, že neplatí dokazovaný výrok). Můžeme se ale pokusit využít toho, že

−|x| ≤ x sin

1

x

≤ |x|

na R,

funkce y 7→ 3

√

y je rostoucí (důkaz je lehké cvičení s vlastnostmi reálných čísel)

a dále limy→0 3

√

y = 0. Pak máme

−| 3

√

x| = −

3

p|x| ≤ 3

r

x sin

1

x

≤

3

p|x| = | 3

√

x|.

Funkce nalevo a napravo mají nulovou limitu (stačí kombinovat limy→0 3

√

y = 0

s Větou o limitě absolutní hodnoty funkce, Věta 3.1.18) a proto díky Větě o dvou

strážnících (Věta 3.1.36) máme i limx→0

3

q

x sin

1

x = 0.

I

Poznámka 3.1.51. Snadno se dá nahlédnout, že Věta o aritmetice limit (Věta
3.1.24) či třeba Věta o dvou strážnících (Věta 3.1.36) platí i pro jednostranné
limity. Situace je složitější u limity složené funkce, neboť v obecné situaci nekon-
trolujeme, zda vnitřní funkce zobrazuje jednostranná okolí bodu x0 jen na jednu
stranu od bodu A.

Poznámka 3.1.52. Některé „patologickéÿ jevy jsme demonstrovali pomocí po-
měrně exoticky vyhlížejících funkcí, jako je třeba Dirichletova funkce. Je tedy na
místě se ptát, zda se tyto jevy a podobné exotické funkce skutečně vyskytují v apli-
kacích (na základních a středních školách se bohatě vystačí s takzvanými elemen-
tárními funkcemi, jako jsou třeba polynomy, goniometrické funkce, exponenciální
funkce a podobně). Pravdou je, že s podobnými funkcemi se ve fyzikálních aplika-
cích nesetkáváme příliš často, ale ani moderní fyzika už nevystačí jen s elementár-
ními funkcemi a polynomy. Používají se tak složité objekty, jako je třeba Diracova
delta „funkceÿ, která vlastně, jak uvidíme později, ani funkcí není. Dirichletova
a jí podobné funkce jsou pro nás tedy nástrojem, který nám umožňuje demon-
strovat, že ne vše je jednoduché, ne každá funkce má limitu, a přesná formulace
předpokladů ve větách je opravdu důležitá.