Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
3
√
h
h
= lim
h→0
1
h
2
3
= +∞.
Volíme-li g(x) = sign x, máme funkci, která není spojitá v počátku. Navíc
g
0(0) = lim
h→0
f (h) − f (0)
h
= lim
h→0
sign h
|h| sign h
= lim
h→0
1
|h|
= +∞.
Věta 3.3.10 (Aritmetika derivací). Nechť f, g : R → R mají vlastní derivace v bo-
dě x0 ∈ R. Pak
(i) (f + g)0(x0) = f
0(x
0) + g
0(x
0)
(ii) (f g)0(x0) = f
0(x
0)g(x0) + f (x0)g
0(x
0)
(iii) jestliže g(x0) 6= 0, pak
f
g
0
(x0) =
f 0(x0)g(x0) − f (x0)g
0(x
0)
g2(x0)
.
Důkaz. (i) Tvrzení plyne přímo z aritmetiky limit, neboť
(f + g)
0(x
0) =
lim
x→x0
f (x) + g(x) − f (x0) − g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
+ lim
x→x0
g(x) − g(x0)
x − x0
= f
0(x
0) + g
0(x
0).
3.3. DERIVACE FUNKCE
75
(ii) Definiční vztah si vhodně přepíšeme a pak použijeme aritmetiku limit spolu
s tím, že vlastní derivace implikuje spojitost
(f g)
0(x
0) =
lim
x→x0
f (x)g(x) − f (x0)g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
f (x)g(x) − f (x0)g(x) + f (x0)g(x) − f (x0)g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
g(x)
f (x) − f (x0)
x − x0
+ lim
x→x0
f (x0)
g(x) − g(x0)
x − x0
= f
0(x
0)g(x0) + f (x0)g
0(x
0).
(iii) Stačí nám ukázat, že
1
g
0
(x0) = −
g0(x0)
g2(x0)
a pak použít výsledek pro derivaci součinu. Opět si definiční vztah vhodně pře-
píšeme a pak použijeme spojitost zaručenou existencí vlastní derivace
lim
x→x0
1
g(x) −
1
g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
g(x) − g(x0)
x − x0
−1
g(x)g(x0)
= −
g0(x0)
g2(x0)
.
Poznámka 3.3.11. Indukcí se dá snadno dokázat vzorec (existují-li vlastní deri-
vace jednotlivých funkcí v bodě x0)
n
Y
i=1
fi
0
(x0) =
n
X
i=1
f
0
i (x0)
Y
j∈{1,...,n},j6=i
fj(x0).
(3.3.1)
Například pro tři funkce tedy máme
(f1f2f3)
0(x
0) = f
0
1(x0)f2(x0)f3(x0) + f1(x0)f
0
2(x0)f3(x0) + f1(x0)f2(x0)f
0
3(x0).
Cvičení 3.3.12. Dokažte indukcí vztah (3.3.1).
Poznámka 3.3.13. (i) Speciálně, volbou g(x) = c (konstanta) dostáváme z Věty
o aritmatice derivací (Věta 3.3.10) (ii)
(cf (x))
0 = cf0(x).
(ii) Pomocí stejné věty lze jednoduše dokázat vztah pro derivaci polynomu
n
X
k=0
akx
k
!0
=
n
X
k=1
kakx
k−1.
Věta 3.3.14 (Derivace složené funkce). Nechť f, g : R → R, x0 ∈ R, f
0(x
0) ∈
R
a g0(f (x0)) ∈ R. Pak
(g ◦ f )
0(x
0) = g
0(f(x
0))f
0(x
0).
76
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
Důkaz. Uvažme dva případy. Nejprve nechť f 0(x0) 6= 0. Nutně pak existuje prs-
tencové okolí bodu x0, na němž máme
f (x)−f (x0)
x−x0
odražené od nuly, proto také
f (x) 6= f (x0). Zároveň máme limx→x
0 f (x) = f (x0 ), neboť f
je spojitá. Zde pak
má smysl následující výpočet, kde využíváme Aritmetiku limit (Věta 3.1.24) a
Větu o limitě složené funkce II (Věta 3.2.13; vnější funkce je y 7→
g(y)−g(f (x0))
y−f (x0)
)
lim
x→x0
g(f (x)) − g(f (x0))
x − x0
= lim
x→x0
g(f (x)) − g(f (x0))
f (x) − f (x0)
f (x) − f (x0)
x − x0
= lim
x→x0
g(f (x)) − g(f (x0))
f (x) − f (x0)
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0