Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Tvrzení 3.4.6. Nechť m ∈ N, p, r ∈ Z, q, s ∈ N a α, β ∈ Q. Pak pro x, y > 0 platí
(i) m
√
xy = m
√
x m
√
y
(ii) x
p
q
= x
1
q
)p
(iii) jestliže
p
q =
r
s , pak x
p
q
= x
r
s
(iv) xα+β = xαxβ
(v) xαβ = (xα)β
(vi) log(x
p
q
) =
p
q log x a x
p
q
= exp(
p
q log x).
Důkaz. Část (i) se dokáže umocněním na m-tou, což je prosté zobrazení na nezá-
porných číslech. Vztah (ii) plyne indukcí z (i). Při důkazu (iii) položme u = x
p
q
a v = x
r
s
. Pak
u
qs = xps = xrq = vqs.
Proto musí platit u = v, což jsme chtěli dokázat. V důkazu (iv) a (v) si přepišme
α =
k
m a β =
l
m , kde k, l ∈ Z a m ∈ N. Pak podle (i)
x
α+β = x
k+l
m
=
m
√
xk+l =
m
√
xkxl =
m
√
xk
m
√
xl = x
k
m
x
l
m
= x
αxβ.
Dále (jednotlivé rovnosti si vysvětlíme pod výpočtem)
x
αβ = x
kl
m2
=
m2
√
xkl =
m
q
m
√
xkl =
m
r
m
√
xk
l
=
m
√
xk
l
m
= (x
α)β.
První dvě a poslední dvě rovnosti využívají zlomkový zápis čísel α a β a naši
definici racionální mocniny. Platnost třetí identity se dokáže položením ym = xkl
a aplikací vlastnosti
m
p
m
√
ym = m
√
y = m
2
√
ym, kde druhá rovnost plyne z (iii).
Konečně pátá rovnost plyne z (ii).
Dokažme (vi). Předně podle (3.4.12) máme
log x = log(x
q
q
) = log(x
1
q
)
q = q log(x
1
q
).
Odtud získáváme log(x
1
q
) =
1
q log x . Nyní stačí použít (3.4.12) a dostáváme první
identitu. Z ní již snadno dokážeme druhou identitu.
Poslední vztah z Tvrzení 3.4.6 nás inspiruje k definici obecné (reálné) mocniny.
86
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
Definice 3.4.7 (Obecná mocnina). Nechť α ∈ R a x ∈ (0, ∞). Pak definujeme
x
α := exp(α log x).
Tvrzení 3.4.8 (Vlastnosti obecné mocniny). Nechť α, β ∈ R. Pak pro všechna
x, y ∈ (0, +∞) platí:
(i) zobrazení x 7→ xα je spojité na (0, +∞)
(ii) je-li α > 0, je toto zobrazení rostoucí na (0, +∞), je-li α < 0, je toto zobrazení
klesající na (0, +∞)
(iii) xα+β = xαxβ, xαβ = (xα)β a xαyα = (xy)α
(iv) je-li α 6= 0, pak Rxα = (0, +∞)
(v) (xα)0 = αxα−1.
Důkaz. Spojitost plyne ze spojitosti exponenciály, logaritmu a Věty o spojitosti
složené funkce (Věta 3.2.9). Tvrzení o monotonii se snadno dokáží s využitím toho,
že exponenciála i logaritmus jsou rostoucí. Dále
xα+β
= exp((α + β) log x) = exp(α log x + β log x)
= exp(α log x) exp(β log x) = xαxβ,
(x
α)β = exp(β log(xα)) = exp(β log(exp(α log x))) = exp(βα log x) = xαβ,
a
(xy)α
= exp(α log(xy)) = exp(α log x + α log y)
= exp(α log x) exp(α log y) = xαyα.
Nyní se věnujme oboru hodnot. Předně logaritmus má obor hodnot celé R. Tentýž
obor hodnot má zobrazení x 7→ α log x a protože funkce exp zobrazuje R na (0, ∞),
dostáváme Rxα = (0, ∞).
Konečně podle věty o derivaci složené funkce máme
(x
α)0 = (exp(α log x))0 = exp0(α log x)α log0 x
= exp(α log x)α
1
x
= x
αα
1
x
= αx
α−1.
Definice 3.4.9 (Exponenciála s obecným základem). Nechť a > 0, a 6= 1. Pak
pro x ∈ R definujeme