Matematická analýza - skripta

→

[1, +∞)

argcosh

[1, +∞)

→

[0, +∞)

tanh

R

→

(−1, 1)

argtanh

(−1, 1)

→

R

coth

R \ {0}

→

R \ [−1, 1]

argcoth

R \ [−1, 1]

→

R \ {0}

90

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

−1

1

tanh x

coth x

coth x

Obrázek 3.12: Náčrt části grafů funkcí tanh a coth.

Právě zavedené hyperbolometrické funkce umíme zderivovat.

Tvrzení 3.4.17. Platí následující vztahy

argsinh

0 x =

1

√

1 + x2

na R

argcosh

0 x =

1

√

x2 − 1

na (1, +∞)

argtanh

0 x =

1

1 − x2

na (−1, 1)

argcoth

0 x =

1

1 − x2

na (−∞, −1) ∪ (1, +∞).

Důkaz. Zabývejme se nejprve prvním výsledkem. Pro x ∈ R pišme y = argsinh x,
tedy y ∈ R a x = sinh y. Protože funkce sinh má nenulovou vlastní derivaci na R,
můžeme aplikovat Větu o derivaci inverzní funkce (Věta 3.3.14; pozor, prohodili
jsme roli x a y) a dostáváme

argsinh

0 x =

1

sinh

0 y

=

1

cosh y

=

1

p

1 + sinh

2 y

=

1

√

1 + x2

.

Ve zbývajících případech postupujeme stejně. Napíšeme jen stručné odvození a
podrobnosti přenecháme čtenáři.

Volba y = argcosh x pro x ∈ (1, ∞) odpovídá y ∈ (0, ∞) a x = cosh y. Proto

argcosh

0 x =

1

cosh

0 y

=

1

sinh y

=

1

p

cosh

2 y − 1

=

1

√

x2 − 1

(pozor na identitu sinh y =

p

cos2 y − 1, která neplatí obecně).

Volba y = argtanh x pro x ∈ (−1, 1) odpovídá y ∈ R a x = tanh y. Proto

argtanh

0 x =

1

tanh

0 y

=

1

1

cosh2 y

=

1

cosh2 y−sinh2 y

cosh2 y

=

1

1 − tanh

2 y

=

1

1 − x2

.

3.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

91

Volba y = argcoth x pro x ∈ R \ [−1, 1] odpovídá y ∈ R \ {0} a x = coth y. Proto

argcoth

0 x =

1

coth

0 y

=

1

−1

sinh2 y

=

1

sinh2 y−cosh2 y

sinh2 y

=

1

1 − coth

2 y

=

1

1 − x2

.

argsinh x

argcosh x

1

Obrázek 3.13: Náčrt části grafů funkcí argsinh a argcosh.

−1

1

argtanh x

argcoth x

argcoth x

Obrázek 3.14: Náčrt části grafů funkcí argtanh a argcoth.

Poznámka 3.4.18. Hyperbolometrické funkce na svých definičních oborech spl-
ňují následující identity:

argsinh x = log(x +

p

x2 + 1)

argcosh x = log(x +

p

x2 − 1)

argtanh x =

1

2

log

1 + x

1 − x

argcoth x =

1

2

log

x + 1

x − 1

.

Až budeme vědět, že k rovnosti dvou funkcí stačí shodná derivace a rovnost v jed-
nom bodě (lze také nahradit shodnou vlastní limitou v jednom z krajních bodů),
budeme tyto identity umět lehce dokázat.

Příklad 3.4.19. Dokažme první identitu z předchozí poznámky použitím definice
funkce x 7→ sinh x. Položme x = sinh y, t = ey. Potom

x =

t −

1

t

2

.

92

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Odsud

t

2 − 2tx − 1 = 0,

tedy

t = x ±

p

x2 + 1.

Protože t = ey > 0, máme

argsinh x = y = log(x +

p

x2 + 1).

Cvičení 3.4.20. Dokažte analogicky zbylé identity z Poznámky 3.4.18.

Elementární funkce často splňují různé symetrie (či periodičnost) a mohli jsme

si všimnout, že jisté symetrie pak mají i jejich derivace. Obecně platí následující
pravidla.

Tvrzení 3.4.21. Derivace periodické funkce je periodická funkce se stejnou peri-
odou, derivace liché funkce je sudá a derivace sudé funkce je lichá (pokud příslušné
derivace existují).