Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Poznámka 4.1.3. (i) Někdy se zavádí primitivní funkce na uzavřeném či po-
louzavřeném intervalu. Pak se navíc kontrolují odpovídající jednostranné derivace
v hraničních bodech.
(ii) V definici primitivní funkce je důležité, že pracujeme na intervalu. Pak totiž
dostáváme rozumné výsledky ohledně jednoznačnosti primitivní funkce, které jsou
kompatibilní s teorií diferenciálních rovnic.
(iii) Daná funkce mít obecně primitivní funkci nemusí (třeba x 7→ sign x, zatím to
ale neumíme dokázat).
(iv) I když primitivní funkce existuje, nemusí být vyjádřitelná pomocí elementár-
ních funkcí (toto je známo například o funkci x 7→ e−x
2
).
101
102
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
(v) Symbol pro primitivní funkci se často zkracuje na
R f dx nebo jen R f . Tyto
zkrácené tvary je však nutné používat opatrně, neboť například u vícerozměrné
integrace musí čtenář poznat, podle kterých proměnných se právě integruje.
(vi) Někdy se místo primitivní funkce mluví o (neurčitém) integrálu. My se tomuto
termínu budeme snažit vyhýbat a budeme důsledně mluvit o primitivní funkci.
Nicméně funkci za
R
budeme nazývat integrand. O integrálu budeme mluvit v dal-
ších kapitolách (Riemannově, Newtonově a Lebesgueově), výsledek dané operace
nebude (na rozdíl od primitivní funkce) funkce, ale číslo.
Věta 4.1.4 (O nejednoznačnosti primitivní funkce). (i) Je-li F primitivní funkce
k f na (a, b) a C ∈ R, pak F + C je také primitivní funkce k f na (a, b).
(ii) Jsou-li F a G primitivní funkce k f na (a, b), pak existuje C ∈ R takové, že
G = F + C.
Důkaz. První část se dokáže zderivováním. Důkaz druhé části zatím odložíme.
(Z předpokladů plyne, že (F − G)0 = 0. My ale zatím nevíme, že nulovou derivaci
mají pouze konstanty.)
Poznámka 4.1.5. Dodáme-li počáteční podmínku tvaru F (x0) = y0, kde x0 ∈
(a, b) a y0 ∈ R, primitivní funkce je určena jednoznačně.
Příklad 4.1.6. Nalezněme primitivní funkci k f (x) =
√
x na (0, +∞), která
splňuje F (1) = 4. Předně máme (x
3
2
)0 =
3
2
√
x. Odtud (
2
3 x
3
2
)0 =
√
x. Tedy G(x) =
2
3 x
3
2
je jednou z možných primitivní funkcí. Splňuje G(1) =
2
3 . Stačí tedy položit
F (x) = G(x) + 4 − G(1) =
2
3
x
3
2
+
10
3
.
Věta 4.1.7 (Spojitost primitivní funkce). Je-li F primitivní funkce k f na (a, b),
pak je na (a, b) spojitá.
Důkaz. Primitivní funkce má ve všech bodech vlastní derivaci, a proto je v nich
spojitá.
Následující věta plyne z výsledků v předchozí kapitole (sekce věnované derivaci
a elementárním funkcím).
Věta 4.1.8 (Přehled základních primitivních funkcí). Platí
(i) nechť a ∈ C, n ∈ Z \ {−1}. Pak
R (x + a)n dx =
(x+a)
n+1
n+1
+ C pro
(
x ∈ R
pokud a /
∈ R nebo a ∈ R, n ≥ 0
x ∈ (−∞, −a) nebo x ∈ (−a, ∞)
pokud a ∈ R, n ≤ −2
(ii) nechť α ∈ R \ {−1}, pak
R xα dx = x
α+1
α+1 + C na (0, ∞)
(iii) nechť a ∈ R, pak
R