Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Řešení:
Na (−∞, 0) máme
Z
f (x) dx =
Z
1 dx = x + C1
a na (0, ∞)
Z
f (x) dx =
Z
e
x dx = ex + C
2.
Dále
lim
x→0−
x + C1 = C1
a lim
x→0+
e
x + C
2 = 1 + C2.
Proto je funkce
F (x) =
x + C1
pro x ∈ (−∞, 0)
C1
pro x = 0
ex + C1 − 1
pro x ∈ (0, +∞)
4.1. ZÁKLADNÍ POJMY A PŘÍKLADY
105
spojitá na R a splňuje F
0(x) = f(x) pro x 6= 0. Navíc
F
0
−(0) =
lim
h→0−
F (h) − F (0)
h
= lim
h→0−
h + C1 − C1
h
= 1
a
F
0
+(0) =
lim
h→0+
F (h) − F (0)
h
= lim
h→0+
eh + C1 − 1 − C1
h
= 1.
Odtud F 0(0) = 1 = f (0) a celkově jsme ukázali, že F je hledanou primitivní funkcí
na celém R.
I
Úloha 4.1.13. Nechť f (x) = sign x. Ukažte, že funkce f má primitivní funkce na
intervalech (−∞, 0) a (0, +∞), ale nemá primitivní funkci na celém R.
Řešení:
Snadno ověříme, že
Z
sign x dx =
Z
−1 dx = −x + C1
na (−∞, 0)
a
Z
sign x dx =
Z
1 dx = x + C2
na (0, +∞).
Nyní pro spor předpokládejme, že existuje primitivní funkce na celém R a označme
ji F . Protože je zároveň primitivní funkcí na (−∞, 0), podle Věty o nejednozna-
čnosti primitivní funkce (Věta 4.1.4) musí platit F (x) = −x + C na (−∞, 0).
Použijme tutéž úvahu na (0, +∞), dále Větu o spojitosti primitivní funkce (Věta
4.1.7) a celkově dostáváme F (x) = |x| + C na R. Funkce napravo ale nemá derivaci
v počátku a to je spor.
I
V dalším se budeme zabývat pokročilejšími metodami hledání primitivních
funkcí. V některých případech tyto metody vedou k cíli pro celou uvažovanou
třídu funkcí (budeme mít metodu pro integraci racionálních lomených funkcí, která
funguje, kdykoliv polynomy vyskytující se ve výpočtu umíme rozložit na kořenové
činitele), jiné metody v sobě zahrnují tápání s nejistým výsledkem. Následující
dvě pokročilejší věty nám v některých případech dávají alespoň naději, že řešení
existuje, případně nás ujišťují, že šance na nalezení primitivní funkce není. Na
jejich důkaz zatím nejsme vybaveni.
Věta 4.1.14 (Primitivní funkce ke spojité funkci). Nechť f : R → R je spojitá
na (a, b). Pak zde má primitivní funkci.
Věta 4.1.15 (Darbouxova vlastnost derivace). Nechť F : R → R má vlastní deri-
vaci f na (a, b). Pak f zde má Darbouxovu vlastnost.
Definice 4.1.16 (Darbouxova vlastnost). Nechť f : R → R a (a, b) ⊂ R. Řekneme,
že f má na (a, b) Darbouxovu vlastnost, jestliže platí
a < x < y < b
∧
c ∈ (min{f (x), f (y)}, max{f (x), f (y)})
=⇒
∃ z ∈ (x, y)
f (z) = c.
106
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Poznámka 4.1.17. (i) V Úloze 4.1.10 jsme měli integrand spojitý na celém R.
Proto jsme podle Věty o primitivní funkci ke spojité funkci (Věta 4.1.14) věděli,
že se nemáme spokojit pouze s primitivními funkcemi na intervalech (−∞, 0)
a (0, +∞).
(ii) V Úloze 4.1.13 integrand skutečně nemá Darbouxovu vlastnost. Volíme-li x = 0
a y = 1, máme f (x) = 0, f (y) = 1 a například pro mezihodnotu c =