Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
x+a dx = log |x + a| + C na (−∞, −a) nebo na (−a, +∞)
(iv)
R ex dx = ex + C na R
(v)
R cos x dx = sin x + C na R
(vi)
R sin x dx = − cos x + C na R
4.1. ZÁKLADNÍ POJMY A PŘÍKLADY
103
(vii)
R
dx
1+x2 = arctan x + C1 = arccot x + C2 na R
(viii)
R
dx
√
1−x2
= arcsin x + C1 = − arccos x + C2 na (−1, 1)
(ix)
R
dx
√
1+x2
= argsinh x + C = log(x +
√
1 + x2) + C na R
(x)
R
dx
√
x2−1
= argcosh x · sign x + C = log(|x| +
√
x2 − 1) sign x + C na (−∞, −1)
nebo na (1, +∞)
(xi)
R cosh x dx = sinh x + C na R
(xii)
R sinh x dx = cosh x + C na R
(xiii)
R
dx
cos2 x = tan x + C na (−
π
2 + kπ,
π
2 + kπ) s k ∈ Z pevným
(xiv)
R
dx
sin2 x = cot x + C na (kπ, (k + 1)π) s k ∈ Z pevným.
Poznámka 4.1.9. Do první části věty spadá například
R
1
x2 dx. Věta nám nabízí
primitivní funkci F1(x) = −
1
x + C1 na (−∞, 0) nebo F2(x) = −
1
x + C2 na (0, +∞).
Primitivní funkce na celém R nemůže existovat už jenom proto, že integrand není
definován v počátku. Funkce
F (x) =
(
− 1
x + C1
na (−∞, 0)
− 1
x + C2
na (0, +∞)
není primitivní funkcí na (−∞, 0) ∪ (0, +∞), neboť uvažovaná množina není in-
terval. Na tomto případě je také vidět, proč se nám situace, kdy nepracujeme na
intervalu, nelíbí. Máme zde dvě aditivní konstanty a případná počáteční podmínka
nám pomůže určit jen jednu z nich.
Uvažme situaci, kdy f : (a, c) → R, umíme najít primitivní funkce na podin-
tervalech (a, b), (b, c) a integrand je definován v bodě b. Pak máme naději (nikoliv
jistotu), že existuje primitivní funkce pro celý interval (a, c), která se získá tak-
zvaným slepením dílčích primitivních funkcí. Věta o spojitosti primitivní funkce
(Věta 4.1.7) nám říká, jak si mají odpovídat aditivní konstanty.
Úloha 4.1.10. Spočtěte
R |x| dx.
Řešení:
Uvážíme dva případy. Na (−∞, 0) máme
Z
|x| dx =
Z
−x dx = −
x2
2
+ C1 =: F1(x)
a na (0, ∞) platí
Z
|x| dx =
Z
x dx =
x2
2
+ C2 =: F2(x).
Snadno spočteme, že
lim
x→0−
F1(x) = C1
a
lim
x→0+
F2(x) = C2.
104
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Ponechme tedy konstantu C1 jako libovolnou, položme C2 = C1, abychom měli
shodné jednostranné limity v počátku (primitivní funkce je spojitá), a definujme
F (x) =
− x
2
2 + C1
pro x ∈ (−∞, 0)
C1
pro x = 0
x
2
2 + C1
pro x ∈ (0, +∞).
Zbývá ověřit, že F 0(x) = |x| na celém R. Z dosavadní konstrukce to máme zajištěno
ve všech bodech mimo počátek. V počátku spočtěme jednostranné derivace
F
0
−(0) =
lim
h→0−
F (h) − F (0)
h
= lim
h→0−
− h
2
2 + C1 − C1
h
= 0
a
F
0
+(0) =
lim
h→0+
F (h) − F (0)
h
= lim
h→0+
h
2
2 + C1 − C1
h
= 0.
Proto F 0(0) = |0| a jsme hotovi.
I
Poznámka 4.1.11. Pokud bychom neuhlídali podmínku
lim
x→0−
F (x) = F (0) = lim
x→0+
F (x),
jedna nebo obě jednostranné derivace by byly nevlastní.
Úloha 4.1.12. Nechť
f (x) =
(
1
pro x < 0
ex
pro x ≥ 0.
Nalezněte primitivní funkci.