Matematická analýza - skripta

1
2 nenajdeme

bod intervalu (x, y), kde by se této hodnoty nabývalo. Snadno se dá ukázat, že
funkce sign má na intervalu (a, b) Darbouxovu vlastnost právě tehdy, když tento
interval neobsahuje počátek.
(iii) Později se dozvíme, že spojitost implikuje Darbouxovu vlastnost.
(iv) Darbouxova vlastnost spojitost nezaručuje. Stačí vzít funkci x 7→ sin

1

x a v

počátku ji dodefinovat libovolnou hodnotou z intervalu [−1, 1].

Dokonce se dá ukázat, že pro spojitou funkci je metoda lepení vždy úspěšná.

Tvrzení 4.1.18. Nechť a < b < c, f je spojitá na (a, c), F1 je primitivní funkce
k f na (a, b) a F2 je primitivní funkce k f na (b, c). Pak existují vlastní limity
limx→b

− F1 (x) a limx→b+ F2 (x), a funkce

F (x) =

F1(x)

pro x ∈ (a, b)

limx→b

− F1 (x)

pro x = b

F2(x) − limx→b

+ F2 (x) + limx→b− F1 (x)

pro x ∈ (b, c)

je primitivní funkcí k f na (a, c).

Důkaz. Protože f je spojitá na (a, c), má zde primitivní funkci G (samozřejmě jich
je nekonečně mnoho, jednu jsme si vybrali a budeme s ní pracovat). Ta je zároveň
primitivní funkcí na intervalu (a, b) a podle Věty o nejednoznačnosti primitivní
funkce (Věta 4.1.4) existuje C1 ∈ R tak, že

G(x) = F1(x) + C1

na (a, b).

Odtud (připomeňme, že G je primitivní na celém (a, c) a tudíž je spojitá v b)

lim

x→b−

F1(x) = lim

x→b−

G(x) − C1 = G(b) − C1 ∈ R.

Analogicky dostaneme

G(x) = F2(x) + C2

na (b, c)

a

lim

x→b+

F2(x) = lim

x→b+

G(x) − C2 = G(b) − C2 ∈ R.

Přepsáním předchozích výsledků za použití definice funkce F dostáváme

F (x) = F1(x) = G(x) − C1

na (a, b),

F (b) = lim

x→b−

F1(x) = G(b) − C1

4.1. ZÁKLADNÍ POJMY A PŘÍKLADY

107

a

F (x) = F2(x) − lim

x→b+

F2(x) + lim

x→b−

F1(x)

= G(x) − C2 − (G(b) − C2) + (G(b) − C1) = G(x) − C1

na (b, c).

Celkově F (x) = G(x) − C1 na (a, c), a proto i F je primitivní funkcí k f na
celém (a, c).

Poznámka 4.1.19. Jednou z častých aplikací primitivní funkce pro nás bude
výpočet Newtonova (určitého) integrálu, který je definovaný jako

Z

b

a

f (x) dx = lim

x→b−

F (x) − lim

x→a+

F (x).

Pokud bychom při lepení neuhlídali aditivní konstanty (tedy spojitost výsledné
primitivní funkce), hodnota Newtonova integrálu by nám vyšla špatně. Na dru-
hou stranu, u Newtonova integrálu se lepení používá minimálně, spíše se volí jiné
metody výpočtu, které se naučíme později.

Aritmetika derivace má za důsledek následující dva nástroje pro hledání pri-

mitivních funkcí.

Věta 4.1.20 (Primitivní funkce součtu a násobku konstantou). Nechť α ∈ R, F
je primitivní funkce k f na (a, b) a G je primitivní funkce k g na (a, b). Pak αF
je primitivní funkce k αf na (a, b) a F + G je primitivní funkce k f + g na (a, b).

Důkaz. Oba výsledky obdržíme zderivováním.

Úloha 4.1.21. Spočtěte

R

dx

√

x+1−

√

x−1

.

Řešení:

Integrand má definiční obor [1, +∞). Pokusíme se tedy primitivní funkci