Matematická analýza - skripta

fx =

1

2

2x

p

x2 + y2 + z2

=

x

p

x2 + y2 + z2

.

Úloha 3.5.13. Nechť N ∈ N. Pro vektor x = (x1, . . . , xN ) ∈ R

n definujeme

velikost |x| =

px2

1 + · · · + x

2
N . Pro f : R

N → R definujeme gradient funkce f jako

∇f = (fx

1 , . . . , fxN ) a Laplaceův operátor ∆f = fx1 x1 + · · · + fxN xN .

Pro volbu f (x) = |x| a x 6= (0, . . . , 0) spočtěte ∇f , |∇f | a ∆f .

Řešení:

Analogicky jako v předchozím příkladu máme fx

i

=

xi

|x| , kdykoliv i ∈

{1, . . . , N }. Proto ∇f = x

|x| a |∇f | = 1.

Dále

fx

i xi =

∂

∂xi

xi

|x|

=

∂xi
∂xi

|x| −

∂|x|

∂xi

xi

|x|2

=

|x| − xi

|x| xi

|x|2

.

Odtud

∆f =

N |x| −

|x|

2

|x|

|x|2

=

N − 1

|x|

.

I

3.6

Limita a derivace komplexní funkce jedné re-
álné proměnné

V tomto případě používáme standardní definici limity, ovšem okolí v obraze je
tentokrát bráno v komplexní rovině.

Definice 3.6.1 (Limita komplexní funkce). Nechť f : R → C, x0 ∈ R a A ∈ C.
Řekneme, že A je limitou funkce f pro x jdoucí k x0, jestliže pro každé ε > 0
existuje δ > 0 takové, že

x ∈ Pδ(x0)

=⇒

f (x) ∈ Uε(A).

V takovém případě píšeme limx→x

0 f (x) = A nebo f (x) → A pro x → x0 .

Následující charakterizace nám umožňuje používat výsledky získané pro reálný

případ.

Věta 3.6.2 (Limita komplexní funkce jako limity reálných funkcí). Nechť funkce
f : R → C, x0 ∈ R a A ∈ C. Pak

lim

x→x0

f (x) = A

⇐⇒

lim

x→x0

Re f (x) = Re A a lim

x→x0

Im f (x) = Im A.

Důkaz. Pro jednoduchost značení zaveďme A1 = Re A, A2 = Im A, f1 = Re f
a f2 = Im f .

3.6. KOMPLEXNÍ FUNKCE

97

„⇒ÿ Zvolme ε > 0. Pak existuje prstencové okolí bodu x0, na kterém platí

|f (x) − A| < ε. Nutně pak zde platí i |f1(x) − A1| < ε a |f2(x) − A2| < ε, neboť
na C vždy máme | Re z|R ≤ |z|C a | Im z|R ≤ |z|C.

„⇐ÿ Ke zvolenému ε > 0 umíme najít takové prstencové okolí, že pro x z něj

máme

|f1(x) − A1| < ε

a

|f2(x) − A2| < ε.

Odtud

|f (x) − A| =

p|f

1(x) − A1|

2 + |f2(x) − A2|2 ≤

√

2ε.

Máme-li definovanou limitu komplexních funkcí reálné proměnné, lze zavést i

jejich derivaci.

Definice 3.6.3 (Derivace komplexní funkce). Nechť f : R → C, x0 ∈ R a A ∈ C.
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 derivaci rovnou A, jestliže

lim

x→x0

f (x) − f (x0)

x − x0

= A.

Potom píšeme f 0(x0) = A. Analogicky jako pro reálné funkce také definujeme
jednostranné derivace.

Všimněme si, že definice je téměř stejná jako u reálných funkcí, pouze nepři-

pouštíme nevlastní derivace, protože pro komplexní funkce nemají žádný smysl.
Předchozí věta nám opět umožňuje používat většinu technik odvozených pro re-
álné funkce. Abychom si toto ilustrovali, dokažme si, že Věta o aritmetice derivací
(Věta 3.3.10) platí i pro komplexní funkce.

Věta 3.6.4 (Aritmetika derivací pro komplexní funkce). Nechť f, g : R → C mají
(vlastní) derivace v bodě x0 ∈ R. Pak
(i) (f + g)0(x0) = f