Matematická analýza - skripta

Tvrzení 3.4.15 (Vlastnosti hyperbolických funkcí). Platí:
(i) funkce sinh je spojitá, rostoucí, lichá, zobrazuje R na R a sinh

0 x = cosh x

(ii) cosh

2 x − sinh2 x = 1 na R

(iii) funkce cosh je spojitá, sudá, roste na [0, +∞), klesá na (−∞, 0], zobrazuje R
na [1, +∞) a cosh

0 x = sinh x

(iv) funkce tanh je spojitá, rostoucí, lichá, zobrazuje R na (−1, 1) a tanh

0 x =

1

cosh2 x

(v) funkce coth je spojitá na svém definičním oboru, klesající na (−∞, 0), klesající
na (0, +∞), lichá, zobrazuje R \ {0} na (−∞, −1) ∪ (1, +∞) a coth

0 x = −1

sinh2 x

.

Důkaz. Monotonii funkce sinh jsme si vysvětlili výše, lichost se snadno ověří z de-
finice a spojitost plyne ze spojitosti dílčích funkcí. Z definice limity se dá snadno
ukázat, že limx→+∞ sinh x = +∞ (e

−x je pro dostatečně velké hodnoty argumentu

v intervalu (0, 1)) a limx→−∞ sinh x = −∞. Podle Lemmatu o spojitosti inverzní
funkce (Lemma 3.3.21) je tedy oborem hodnot celé R. Derivaci získáme přímým
výpočtem

sinh

0 x =

ex − e−x

2

0

=

ex + e−x

2

= cosh x.

Identita v části (ii) plyne z definic obou funkcí

cosh

2 x − sinh2 x =

ex + e−x

2

2

−

ex − e−x

2

2

=

e2x + 2 + e−2x

4

−

e2x − 2 + e−2x

4

= 1.

Dokažme (iii). Spojitost a sudost se odvodí snadno. Dále protože sinh je nezáporný
a rostoucí na [0, +∞), platí totéž pro sinh

2. Podle (ii) je zde tedy cosh2 rostoucí

a odtud i cosh je rostoucí na [0, +∞), neboť je nezáporný. Na intervalu (−∞, 0]
použijeme sudost. Navíc cosh 0 = 1 a snadno ověříme, že

lim

x→+∞

cosh x =

lim

x→−∞

cosh x = +∞.

3.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

89

Lemma o spojitosti inverzní funkce (Lemma 3.3.21) proto dává Rcosh = [1, +∞).
Pro derivaci máme

cosh

0 x =

ex + e−x

2

0

=

ex − e−x

2

= sinh x.

Dokažme (iv). Spojitost a lichost se odvodí snadno. Dále

tanh x =

ex − e−x

ex + e−x

=

e2x − 1

e2x + 1

= 1 −

2

e2x + 1

.

Odtud vidíme, že tanh je rostoucí. Dále snadno limx→+∞ tanh x = 1. Toto zkombi-
nujeme s lichostí a monotonií a získáme požadovaný obor hodnot (díky Lemmatu
o spojitosti inverze; Lemma 3.3.21). Derivaci spočítáme

tanh

0 x =

sinh x

cosh x

0

=

sinh

0 x cosh x − sinh x cosh0 x

cosh

2 x

=

cosh

2 x − sinh2

cosh

2 x

=

1

cosh

2 x

.

Dokažme (v). Všechny informace až na poslední získáme z toho, že coth je převrá-
cená hodnota tanh. Zbývá spočítat derivaci

coth

0 x =

cosh x

sinh x

0

=

cosh

0 x sinh x − cosh x sinh0 x

sinh

2 x

=

sinh

2 x − cosh2

sinh

2 x

=

−1

sinh

2 x

.

sinh x

1

cosh x

Obrázek 3.11: Náčrt části grafů funkcí sinh a cosh.

Poznámka 3.4.16. Povšimněte si, že coth je klesající na (−∞, 0) a na (0, +∞),
ale není klesající na (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Na intervalech, kde jsou předchozí funkce ryze monotonní, existují jejich in-

verzní funkce. S využitím lemmatu o spojité inverzi dostáváme následující tabulku.

sinh

R

→

R

argsinh

R

→

R

cosh

[0, +∞)