Matematická analýza - skripta

Důkaz. Důkaz je jen jednoduché cvičení s definicí derivace. Ukážeme si jej jen
v případě liché funkce

f

0(−x) = lim

h→0

f (−x + h) − f (−x)

h

= − lim

h→0

f (x − h) − f (x)

h

= lim

−h→0

f (x − h) − f (x)

−h

= f

0(x).

Zmiňme se ještě o parametricky zadaných funkcích y = f (x), kde

x = ϕ1(t)

a

y = ϕ2(t)

t ∈ (a, b),

přičemž ϕ1, ϕ2 : R → R a funkce ϕ1 je prostá na (a, b).

Věta 3.4.22 (Derivace parametricky zadané funkce). Nechť ϕ1, ϕ2 : R → R mají
vlastní derivaci na (a, b), navíc ϕ0

1 6= 0 na (a, b) a x, y jsou jako výše. Pak

dy

dx

=

ϕ0

2(t)

ϕ0

1(t)

pro t ∈ (a, b).

Důkaz. Podle Vět o derivaci inverzní funkce (Věty 3.3.22 a 3.3.23) je ϕ1 prostá na
(a, b), t = ϕ

−1
1

(x) na ϕ1((a, b)) a

y

0(x) =

d

dx

ϕ2(ϕ

−1
1

(x)) = ϕ

0
2(ϕ

−1
1

(x))

1

ϕ0

1(t)

=

ϕ0

2(t)

ϕ0

1(t)

.

Příklad 3.4.23. Nechť x = t3 + t a y = sin t na R. Pak

dy

dx

=

cos t

3t2 + 1

pro t ∈ R.

3.5. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ

93

3.5

Derivace vyšších řádů, parciální derivace

Definice 3.5.1 (Derivace vyššího řádu). Nechť x0 ∈ R, δ > 0 a f : R → R má
v Uδ(x0) vlastní derivaci. Jestliže existuje

lim

x→x0

f 0(x) − f 0(x0)

x − x0

∈ R

∗,

pak toto číslo nazveme druhou derivací funkce f v bodě x0 a značíme jej f

00(x

0),

popřípadě

d

2 f

dx2 (x0). Analogicky definujeme pro k ∈ N

f

(k)(x

0) = (f

(k−1))0(x

0).

Poznámka 3.5.2. Řád derivace označuje buď římská číslice nebo arabská číslice
v kulaté závorce. Používá se konvence f (0) = f .

Příklad 3.5.3. Pro funkci f (x) = x3 + x2 + 2x + 1 platí

f

0(x) = 3x2 + 2x + 2

f

00(x) = 6x + 2

f

000(x) = 6

f

IV (x) = fV (x) = · · · = 0.

Příklad 3.5.4. Pro funkci f (x) = ex

√

x spočtěme první tři derivace na (0, +∞).

Máme

f

0(x) = exx

1
2

+

1

2

e

xx−

1
2

f

00(x) = exx

1
2

+

1

2

e

xx−

1
2

+

1

2

e

xx−

1
2

−

1

4

e

xx−

3
2

= e

xx

1
2

+ e

xx−

1
2

−

1

4

e

xx−

3
2

f

000(x) = exx

1
2

+

1

2

e

xx−

1
2

+ e

xx−

1
2

−

1

2

e

xx−

3
2

−

1

4

e

xx−

3
2

+

3

8

e

xx−

5
2

= e

xx

1
2

+

3

2

e

xx−

1
2

−

3

4

e

xx−

3
2

+

3

8

e

xx−

5
2

.

V předchozím výpočtu jsme narazili na několik dvojic členů, jejichž vysčítáním

došlo ke zjednodušení výsledné formule. Následující výsledek založený na bino-
mické větě nám přímo ohlídá, které členy je ve vyšší derivaci součinu dvou funkcí
možné sečíst, a tím nám zrychlí výpočet.

Věta 3.5.5 (Leibnizovo pravidlo). Nechť n ∈ N, x0 ∈ R, f, g : R → R a existují
vlastní f (n)(x0) a g

(n)(x0). Pak

(f g)

(n)(x

0) =

n

X

k=0

n

k

f

(k)(x

0)g

(n−k)(x

0).

94

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Důkaz. Použijeme matematickou indukci. Pro n = 1 se jedná přímo o vzoreček
pro derivaci součinu. Nechť je n ∈ N, n ≥ 2, existují vlastní f

(n)(x0) a g(n)(x0)

(tedy existují vlastní derivace všech nižších řádů) a vzoreček platí pro derivaci
řádu n − 1. Pak (pro přehlednost vynecháváme argument x0)

(f g)

(n) = ((fg)(n−1))0 =