Matematická analýza - skripta

a kotangens (použijeme mezinárodní značení)

tan x =

sin x

cos x

Dtan = R \ {(2k + 1)

π

2 : k ∈ Z}

cot x =

cos x

sin x

Dcot = R \ {kπ : k ∈ Z}.

Snadno se nahlédne, že obě funkce jsou π-periodické, tangens je rostoucí na (−

π

2 ,

π

2 )

a kotangens je klesající na (0, π). Na svých definičních oborech mají obě funkce
vlastní derivaci, jak se snadno přesvědčíme výpočtem využívajícím aritmetiku de-
rivace:

tan

0 x =

sin x

cos x

0

=

sin

0 x cos x − sin x cos0 x

cos2 x

=

cos2 x + sin

2 x

cos2 x

=

1

cos2 x

cot

0 x =

cos x

sin x

0

=

cos0 x sin x − cos x sin

0 x

sin

2 x

=

− sin

2 x − cos2 x

sin

2 x

= −

1

sin

2 x

.

Na intervalech, kde jsou předchozí goniometrické funkce ryze monotonní, exis-

tují jejich inverzní funkce. Vybíráme vždy interval monotonie obsahující (0,

π

2 ) a

s využitím Lemmatu o spojitosti inverzní funkce (Lemma 3.3.21) dostáváme ná-
sledující tabulku.

sin

[−

π

2 ,

π

2 ]

→

[−1, 1]

arcsin

[−1, 1]

→

[−

π

2 ,

π

2 ]

cos

[0, π]

→

[−1, 1]

arccos

[−1, 1]

→

[0, π]

tan

(−

π

2 ,

π

2 )

→

R

arctan

R

→

(−

π

2 ,

π

2 )

cot

(0, π)

→

R

arccot

R

→

(0, π)

Právě zavedené cyklometrické funkce umíme zderivovat.

82

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

− π

2

π

2

π

3π

2

2π

tan x

cot x

Obrázek 3.8: Náčrt části grafů funkcí tan a cot.

Tvrzení 3.4.3. Platí následující vztahy

arcsin

0 x =

1

√

1 − x2

na (−1, 1)

arccos

0 x =

−1

√

1 − x2

na (−1, 1)

arctan

0 x =

1

1 + x2

na R

arccot

0 x =

−1

1 + x2

na R.

Důkaz. Zabývejme se nejprve prvním výsledkem. Pro x ∈ (−1, 1) pišme y =
arcsin x, tedy y ∈ (−

π

2 ,

π

2 ) a x = sin y. Protože funkce sin má nenulovou vlastní de-

rivaci na (−

π

2 ,

π

2 ), můžeme aplikovat Větu o derivaci inverzní funkce (Věta 3.3.14;

pozor, prohodili jsme roli x a y) a dostáváme

arcsin

0 x =

1

sin

0 y

=

1

cos y

=

1

p

1 − sin

2 y

=

1

√

1 − x2

(třetí rovnost platí na (−

π

2 ,

π

2 ), protože je zde cos y > 0). Ve zbývajících případech

postupujeme stejně. Uvedeme jen stručné odvození a podrobnosti přenecháme čte-
náři.

Volba y = arccos x pro x ∈ (−1, 1) odpovídá y ∈ (0, π) a x = cos y. Proto

arccos

0 x =

1

cos0 y

=

1

− sin y

=

−1

p

1 − cos2 y

=

−1

√

1 − x2

(pozor na identitu sin y =

p

1 − cos2 y, která opět neplatí obecně).

Volba y = arctan x pro x ∈ R odpovídá y ∈ (−

π

2 ,

π

2 ) a x = tan y. Proto

arctan

0 x =

1

tan0 y

=

1

1

cos2 y

=

1

cos2 y+sin2 y

cos2 y

=

1

1 + tan2 y

=

1

1 + x2

.

Volba y = arccot x pro x ∈ R odpovídá y ∈ (0, π) a x = cot y. Proto

arccot

0 x =

1

cot0 y

=

−1

1

sin2 y

=

−1

sin2 y+cot2 y

sin2 y

=

−1

1 + cot2 y

=

−1

1 + x2

.

3.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

83

−1

1

π

2

− π

2

arcsin x

−1

1

π

2

π

arccos x

Obrázek 3.9: Náčrt grafů funkcí arcsin a arccos.

− π

2

π

2

π

arctan x

arccot x

Obrázek 3.10: Náčrt části grafů funkcí arctan a arccot.

Věta 3.4.4 (O exponenciále). Existuje právě jedna funkce exp : C → C taková,
že:
(i) exp(z1 + z2) = exp z1 exp z2