Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0) − Ah
h
= 0.
Označme g(x) = f (x0) + A(x − x0), což je afinní funkce. Pak můžeme učinit násle-
dující pozorování: Je-li funkce f spojitá, pak existuje nekonečně mnoho afinnních
funkcí aproximujících f na okolí x0 s přesností
lim
x→x0
f (x) − L(x) = 0
(stačí, aby afinnní funkce splňovala L(x0) = f (x0)). Přísnější podmínku
lim
x→x0
f (x) − L(x)
x − x0
= 0
splňuje nejvýše jedna afinní funkce a sice g. Derivaci tedy můžeme chápat jako
směrnici afinní funkce, která nejlépe aproximuje f na okolí bodu x0.
S předchozí poznámkou souvisí jeden důležitý pojem.
Definice 3.3.4 (Diferenciál funkce). Řekneme, že funkce f má v bodě x0 diferen-
ciál, jestliže existuje lineární funkce L (požadujeme nulovou hodnotu v počátku)
taková, že
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0) − Lh
h
= 0.
Snadno se dá ověřit, že existence diferenciálu je ekvivalentní existenci vlastní
derivace a pak Lh = f 0(x0)h. To plyne přímo z předchozí poznámky.
Poznámka 3.3.5. Často se studuje zobrazení x0 7→ f
0(x
0). Toto zobrazení se
značí f 0, říká se mu derivace funkce f a jeho definičním oborem jsou jen body, kde
f 0(x0) existuje a je vlastní.
Příklad 3.3.6. (i) Uvažme konstantní funkci f ≡ a ∈ R. Pak
f
0(x
0) =
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= lim
x→x0
a − a
x − x0
= 0.
(ii) Pokud f je identita, máme
f
0(x
0) =
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= lim
x→x0
x − x0
x − x0
= 1.
(iii) Pokud f (x) = x2, platí
f
0(x
0) = lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h
= lim
h→0
(x0 + h)
2 − x2
0
h
= lim
h→0
2x0h + h
2
h
= 2x0.
74
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
Touto metodou bychom mohli zderivovat libovolný polynom. Brzy se však naučíme
aritmetiku derivace, jejíž užití je pohodlnější.
(iv) Pokud f (x) =
√
x pro x ≥ 0 a x0 > 0, platí
f
0(x
0) = lim
h→0
√
x0 + h −
√
x0
h
= lim
h→0
h
h(
√
x0 + h +
√
x0)
=
1
2
√
x0
.
Věta 3.3.7 (Vztah vlastní derivace a spojitosti). Nechť f : R → R má v bodě
x0 ∈ R vlastní derivaci. Pak je v tomto bodě spojitá.
Důkaz. Protože vlastní limita implikuje omezenost na jistém prstencovém okolí,
existují K > 0 a δ > 0 taková, že
x ∈ Pδ(x0)
=⇒
f (x) − f (x0)
x − x0
≤ K.
Odtud máme na tomto okolí 0 ≤ |f (x) − f (x0)| ≤ K|x − x0| a aplikací Věty o dvou
strážnících (Věta 3.1.36) dostáváme požadovaný výsledek.
Poznámka 3.3.8. Obrácená implikace neplatí. Již jsme si ukázali funkci x 7→ |x|,
která je spojitá na celém R, ale nemá derivaci v počátku. Dokonce jsou známy
konstrukce spojitých funkcí, které derivaci nemají vůbec v žádném bodě.
Příklad 3.3.9. Má-li funkce v bodě nevlastní derivaci, spojitá zde být může i
nemusí, jak nám ukáží následující příklady. Předně položme f (x) = 3
√
x. O této
funkci už víme, že je spojitá na celém R. Dále máme
f
0(0) = lim
h→0
f (h) − f (0)
h
= lim
h→0