Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
kde K > 0 je takové, že |g(x)| ≤ K na jistém prstencovém okolí bodu x0.
Příklad 3.1.43. Analogicky jako v předchozím příkladu se ověří, že
lim
x→0
x sin
1
x
= 0.
64
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
Nyní přistoupíme k otázce počítání limit složených funkcí. V Úloze 3.1.37 měl
mnohý čtenář jistě silné nutkání použít následující postup:
lim
x→0
k
√
1 + x = k
q
lim
x→0
(1 + x) =
k
√
1 = 1.
Je tedy přirozené zabývat se otázkou, zda v situaci f, g : R → R, limx→x
0 f (x) =
A ∈ R, limy→A g(y) = B ∈ R platí
lim
x→x0
g(f (x)) = B.
(3.1.2)
Odpověď je obecně negativní, jak ukazuje následující příklad.
Příklad 3.1.44. Nechť f (x) = xD(x) pro x 6= 0 a
g(y) =
(
y2
pro y 6= 0
1
pro y = 0.
Pak limx→0 f (x) = 0, limy→0 g(y) = 0, ale limx→0 g(f (x)) neexistuje, neboť
g(f (x)) =
(
x2
pro x ∈ Q
1
pro x ∈ R \ Q.
Poznámka 3.1.45. Pokud bychom v předchozím příkladu volili f ≡ 0, vyšlo by
nám limx→0 g(f (x)) = 1 6= 0 = limy→0 g(y).
Z předchozích příkladů vidíme, že pro platnost vzorce (3.1.2) je nutné předpo-
kládat víc, než jen existenci vlastních limit obou funkcí v odpovídajících bodech.
Věta 3.1.46 (O limitě složené funkce I). Nechť f, g : R → R, x0 ∈ R, dále nechť
limx→x
0 f (x)
= A ∈ R, limy→A g(y) = B ∈ R a navíc f (x) 6= A na jistém
prstencovém okolí bodu x0. Pak
lim
x→x0
g(f (x)) = B.
Důkaz. Zvolme ε > 0. Protože limy→A g(y) = B, můžeme najít δ > 0 takové, že
y ∈ Pδ(A)
=⇒
g(y) ∈ Uε(B).
Dále protože limx→x
0 f (x) = A, k výše zvolenému δ
> 0 můžeme najít τ1 > 0
takové, že
x ∈ Pτ
1 (x0 )
=⇒
f (x) ∈ Uδ(A).
Konečně, podle posledního předpokladu věty máme τ2 > 0 takové, že f (x) 6= A
na Pτ
2 (x0 ). Položme τ = min{τ1 , τ2 }. Pak celkově dostáváme
x ∈ Pτ (x0) =⇒ f (x) ∈ Uδ(A) ∧ f (x) 6= A =⇒ f (x) ∈ Pδ(A) =⇒ g(f (x)) ∈ Uε(B)
a jsme hotovi.
3.1. LIMITA FUNKCE
65
Poznámka 3.1.47. Z důkazu a příkladů před větou můžeme vidět, co způsobilo
neplatnost vzorečku (3.1.2) v obecném případě: definice limity nehlídá funkční
hodnotu v bodě, pro který limitu počítáme. Pokud tedy dojde k tomu, že f (x) = A,
nemůžeme říct, že g(f (x)) = g(A) je blízko požadované hodnotě B. Ve větě jsme
tomuto problému předešli tak, že jsme připustili jen případ, kdy k jevu f (x) = A
vůbec nedochází (stačí na malých prstencových okolích bodu x0). Druhou možností
je požadovat, aby g(A) = B. Odpovídající větu budeme mít v další kapitole.
Úloha 3.1.48. S využitím výsledku limx→0
√
1 + x = 1 (získali jsme jej při řešení
Úlohy 3.1.37) spočtěte
lim
x→0
p
1 + x3 − x2.
Řešení:
Použijeme Větu o limitě složené funkce I (Věta 3.1.46). Položme f (x) =
x3 − x2 a g(y) =
√
1 + y. Pomocí aritmetiky limit snadno ověříme, že limx→0(x
3 −
x2) = 0. Protože navíc víme, že limy→0
√
1 + y = 1, zbývá ověřit, že funkce f