Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
−g(x) = − lim
x→x0
g(x) = −B
(použili jsme pomocnou funkci h(x) ≡ −1) a teď už stačí jen použít (i) na součet
f (x) + (−g(x)).
Úloha 3.1.26. Spočtěte limitu
lim
x→0
x2 + 3x
2x + 1
.
Připomeňme, že už umíme počítat limitu identity a konstanty. Nejprve si
ukážeme postup, který s aritmetikou limit pracuje velice opatrně.
Řešení:
Podle aritmetiky limit máme
lim
x→0
x
2 = lim
x→0
x lim
x→0
x = 0
a
lim
x→0
3x = lim
x→0
3 lim
x→0
x = 0.
Proto aritmetika limit dává
lim
x→0
(x
2 + 3x) = 0.
Použijme opět aritmetiku limit
lim
x→0
2x = lim
x→0
2 lim
x→0
x = 0,
a proto další užití aritmetiky limit dává
lim
x→0
(2x + 1) = 1.
Teď již stačí jen použít aritmetiku limit v kombinaci se získanými mezivýsledky:
lim
x→0
x2 + 3x
2x + 1
=
limx→0(x
2 + 3x)
limx→0(2x + 1)
=
0
1
= 0.
I
Nyní si předvedeme elegantnější přístup, který však vyžaduje jistou opatrnost.
3.1. LIMITA FUNKCE
59
Řešení:
Několikanásobným užitím aritmetiky limit dostáváme
lim
x→0
x2 + 3x
2x + 1
=
limx→0(x
2 + 3x)
limx→0(2x + 1)
=
limx→0 x
2 + limx→0 3x
limx→0 2x + limx→0 1
=
limx→0 x limx→0 x + limx→0 3 limx→0 x
limx→0 2 limx→0 x + limx→0 1
=
0 · 0 + 3 · 0
2 · 0 + 1
= 0.
I
Poznámka 3.1.27. (i) Druhý z postupů je přehlednější a také věrněji sleduje
pořadí úvah řešitele.
(ii) Druhý postup je korektní teprve ve chvíli, kdy je úplně dokončen. Skutečně,
například první ze čtyř rovností je zdůvodněna teprve ve chvíli, kdy zjistíme, že
čitatel má konečnou limitu a jmenovatel má limitu konečnou a nenulovou. To se
ale dozvíme až na konci výpočtu. Této situaci se někdy říká podmíněná rovnost.
(iii) Všimněme si, že použitím aritmetiky limit lze ověřit, že pro libovolný polynom
P (x) a libovolný bod x0 ∈ R platí limx→x
0 P (x) = P (x0 ).
Z předchozích příkladů by se mohlo zdát, že zaručenou metodou pro hledání
limit racionálních lomených funkcí (podíl dvou polynomů) je rozložení zadání na
konstantní či identická zobrazení a pak už jen využití aritmetiky limit. Skutečností
ovšem je, že neopatrnou aplikací aritmetiky limit může řešitel od správného řešení
zbloudit, jak ukazuje následující příklad.
Příklad 3.1.28. Výsledek limx→0
x
2
x
= 0 se nedá získat vzorečkem pro limitu
podílu, neboť jmenovatel má nulovou limitu. Tedy
lim
x→0
x2
x
6=
limx→0 x
2
limx→0 x
.
Na druhou stranu,
x
2
x = x pro x 6= 0, a proto
lim
x→0
x2
x
= lim
x→0
x = 0.
Odlišné chování uvažovaných funkcí v počátku znamená, že se jedná o různé
funkce. Tyto funkce se však rovnají na všech prstencových okolích počátku, je
tedy jedno, se kterou z nich při počítání limit pracujeme.
Úloha 3.1.29. Spočtěte limitu limx→1
x
3 −2x2+x
x3−x2−x+1 .
Ukážeme si dvě řešení využívající myšlenku z předchozího příkladu.
Řešení:
Provedeme rozklad na kořenové činitele, provedeme částečné vykrácení