Matematická analýza - skripta

(vzniklá funkce se pak bude shodovat s původní na jistém prstencovém okolí) a
pak použijeme aritmetiku limit

lim

x→1

x3 − 2x2 + x

x3 − x2 − x + 1

= lim

x→1

x(x − 1)2

(x − 1)2(x + 1)

= lim

x→1

x

(x + 1)

=

1

2

.

I

60

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Poznámka 3.1.30. (i) Ke čtenáři jsme zatím byli šetrní v tom, že v našich pří-
kladech má vždy kořenový činitel s nulovou limitou v čitateli mocninu větší nebo
rovnou své mocnině ve jmenovateli. Opačná situace vede buď na nevlastní limitu,
nebo limita neexistuje (závisí to na paritě rozdílu mocnin; tyto problémy budeme
studovat až v kapitole o nevlastních limitách).
(ii) Pro naše řešení nebyl klíčový rozklad na všechny kořenové činitele. Stačilo na-
lézt nejvyšší mocninu, se kterou se činitel (x − 1) vyskytuje ve jmenovali (zde je
nutné ovládat dělení polynomů) a starat se jen o ni.

Další možností řešení naší úlohy je převedení na zkoumání limity v počátku.

To má své výhody, které shrneme pod výpočtem.

Řešení:

Přepíšeme si x = 1 + t, provedeme částečné vykrácení a pak použijeme

aritmetiku limit

lim

x→1

x3 − 2x2 + x

x3 − x2 − x + 1

= lim

t→0

(t + 1)3 − 2(t + 1)2 + (t + 1)

(t + 1)3 − (t + 1)2 − (t + 1) + 1

= lim

t→0

t3 + t2

t3 + 2t2

= lim

t→0

t + 1

t + 2

=

1

2

.

I

Poznámka 3.1.31. (i) Přepsání x = 1 + t je jednoduchá úprava, která zachovává
vzdálenosti (|x − 1| = |t − 0|), v definici limity bude k danému ε > 0 použitelné
stejné δ > 0, které šlo použít před úpravou. Jedná se tedy o korektní operaci,
které není nutné vznešeně říkat substituce a ani není nutné používat Větu o limitě
složené funkce (Věta 3.1.46), která bude uvedena níže.
(ii) Použitá metoda je příjemná v tom, že jsme poměrně nepříjemné dělení poly-
nomů nahradili jen sčítáním a umocněním polynomu stupně jedna.
(iii) Hlavním přínosem převádění na limitu v počátku je však to, že budeme-li
takto počítat všechny limity, budeme moci snáze používat zkušenosti z předešlých
výpočtů. Tento přístup je velice rozšířený, proto bývá zvykem hlubší výsledky
uvádět pro limitu v počátku.

V předchozí části textu jsme si ukázali některé jevy související s tím, že aritme-

tika limit není ekvivalentní úpravou. Viděli jsme, že jistotu o oprávněnosti použití
aritmetiky získáme až po úspěšném dokončení celého výpočtu, neboť v průběhu
tohoto výpočtu ještě nemáme informaci o splnění předpokladů na existenci dílčích
limit. V průběhu tohoto výpočtu navíc nikdy nevíme, zda se skutečně blížíme
k cíli (pokud jsme se ovšem nedostali do situace, kde nám pomůže zkušenost s po-
dobnými úlohami). Navíc může dojít k tomu, že nenávratně sejdeme ze správné
cesty (v situaci z Příkladu 3.1.28 se po přehození limit na čitatele a jmenovatele
už nemůžeme vrátit). V některých situacích však aritmetika limit ekvivalentní
úpravou je, máme tedy jistotu, že jsme z cesty nesešli.