Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
( x2−1
x−1
pro x 6= 1
2
pro x = 1.
Pak f je spojitá na R \ {1} a g je spojitá na R.
(iii) Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě, neboť v žádném bodě nemá li-
mitu. Definujeme-li f (x) = (x−x0)D(x), získáme funkci, která je spojitá v bodě x0,
a nikde jinde spojitá není.
(iv) Funkce signum je spojitá všude kromě počátku.
Poznámka 3.2.6. Kvantifikátorový zápis definice spojitosti je následující
∀ε > 0 ∃δ > 0
x ∈ Uδ(x0) =⇒ f (x) ∈ Uε(f (x0)).
Důležitým rozdílem je, že tentokrát bereme klasické okolí bodu x0, nikoliv redu-
kované.
Poznámka 3.2.7. Není vhodné dělit funkce na spojité a nespojité, kdy do první
skupiny patří funkce spojité na celém svém definičním oboru a do druhé skupiny
ty ostatní. Spojitost je vlastnost, která nám umožňuje používat různé užitečné
nástroje. Například u funkce signum by byla škoda se těchto nástrojů vzdát úplně,
když je můžeme používat všude mimo počátek.
Pro práci se spojitostí jsou užitečné následující dvě věty.
Věta 3.2.8 (Aritmetika spojitosti). Nechť f, g : R → R jsou spojité v x0 ∈ R. Pak
(i) f + g a f g jsou spojité v x0
(ii) je-li g(x0) 6= 0, je
f
g spojitá v x0.
Důkaz. Věta je důsledkem Věty o aritmetice limit (Věta 3.1.24).
3.2. SPOJITOST FUNKCE
69
Věta 3.2.9 (Spojitost složené funkce). Nechť f, g : R → R, f je spojitá v x0 a g je
spojitá v f (x0). Pak g ◦ f je spojitá v x0.
Důkaz. Zvolme ε > 0. Protože g je spojitá v f (x0), můžeme najít δ > 0 takové, že
y ∈ Uδ(f (x0))
=⇒
g(y) ∈ Uε(g(f (x0))).
Dále, protože f je spojitá v x0, k výše zvolenému δ > 0 můžeme najít τ > 0
takové, že
x ∈ Uτ (x0)
=⇒
f (x) ∈ Uδ(f (x0)).
Celkově dostáváme
x ∈ Uτ (x0)
=⇒
f (x) ∈ Uδ(f (x0))
=⇒
g(f (x)) ∈ Uε(g(f (x0)))
a jsme hotovi.
Úloha 3.2.10. Nechť k ∈ N. Ukažte, že funkce f : x 7→ k
√
x je pro k liché spojitá
na celém R a pro k sudé je spojitá na (0, ∞) a v počátku je spojitá zprava.
Řešení:
Z předchozí sekce víme, že limx→0
k
√
1 + x = 1 =
k
√
1, neboli naše funkce
je spojitá v bodě 1. Zvolme nyní x0 > 0. Pišme
k
√
x =
k
√
x0 + x − x0 = k
√
x0
k
r
1 +
x − x0
x0
.
Nyní vnitřní funkce ϕ : x 7→
x−x0
x0
je spojitá v x0 a platí ϕ(x0) = 0. Dále vnější
funkce ψ : y 7→
k
√
1 + y je spojitá v počátku a proto podle Věty o spojitosti složené
funkce (Věta 3.2.9) je funkce x 7→ k
q
1 +
x−x0
x0
spojitá v x0. Snadnou aplikací
aritmetiky spojitosti konečně dostáváme, že f je spojitá v x0. Pokud x0 < 0 a k je
liché, postupujeme analogicky. Pokud x0 = 0 a k je liché, přímo z definice limity
ukážeme, že limx→0 k
√
x = 0. Pokud x0 = 0 a k je sudé, z definice spočítáme limitu
zprava.
I
Úloha 3.2.11. Nechť f (x) =
3
√
1+x−1
x
pro x 6= 0. Dodefinujte funkci f v počátku
tak, aby byla spojitá na celém R.
Řešení:
V předchozí sekci jsme si ukázali, že limx→0