Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
K pojmu derivace dospěli nezávisle na sobě Gottfried Wilhelm von Leibniz
a Isaac Newton v 17. století. Každý k němu dospěl z jiného úhlu pohledu, oba
přístupy jsou z dnešního pohledu značně těžkopádné, takže se je pokusíme přiblížit
v dnešní řeči matematické analýzy.
Isaac Newton vycházel z úlohy nalézt okamžitou rychlost pohybu hmotného
bodu. Pokud se hmotný bod pohybuje ve směru osy x, jeho průměrnou rychlost
na intervalu (t0, t1) můžeme nalézt ze znalosti s(t) dráhy uražené v čase t jako
vp(t0) =
s(t1) − s(t0)
t1 − t0
.
Jestliže se budeme blížit s t1 k t0, nebo-li přírůstek v čase (označovaný jako o)
infinitizimálně malý, můžeme dostat (v dnešní řeči jako limitu pro t1 jdoucí k t0)
okamžitou rychlost. Tu nazýval fluxí, fluentem pak infinitizimální přírůstek funkce
x. Pokud uvažoval funkci y = f (x), zavedl si potom čas jako pomocnou veličinu
a derivaci y0(x) pak chápal jako podíl fluxí ˙
y a ˙
x, v dnešní řeči něco jako derivaci
parametricky zadané funkce, tedy pro
˙
y =
dy
dt
,
˙
x =
dx
dt
72
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
máme
dy
dx
=
˙
y
˙
x
.
G.W. Leibniz vycházel z úlohy hledání tečny ke křivce. Uvažujeme křivku
popsanou y = f (x) a hledáme tečnu ke křivce procházející bodem (x0, f (x0)).
Potřebujeme nalézt její směrnici. Nahradíme si tečnu sečnou, procházející body
(x0, f (x0)) a (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)). Její směrnice je
ks =
f ((x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
a směrnici tečny pak dostáváme, pokud je ∆x infinitizimálně malé (označíme jako
dx). V řeči dnešní analýzy tedy provedeme limitu pro ∆x → 0, Leibniz ale o limitě
nemluvil.
Dostáváme se tedy k následující definici.
Definice 3.3.1 (Derivace funkce). Nechť f : R → R, x0 ∈ R a A ∈ R
∗. Řekneme,
že funkce f má v bodě x0 derivaci rovnou A, jestliže
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= A.
V takovém případě píšeme f 0(x0) = A. Analogicky se pomocí jednostranných limit
definují derivace zprava a zleva, které značíme f 0
+(x0) a f
0
−(x0).
f (x0)
x0
x0 − δ
x0 + δ
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
XX
XX
XX
XX
XX
g(x)
h(x)
Obrázek 3.5: Derivace funkce: pro dané ε > 0 hledáme δ > 0 tak, aby na intervalu
(x0 − δ, x0 + δ) byl graf funkce sevřen grafy lineárních funkcí g : x 7→ f (x0) + (A +
ε)(x − x0) a h : x 7→ f (x0) + (A − ε)(x − x0).
Poznámka 3.3.2. (i) Někdy se derivace značí
df
dx (x0).
(ii) Díky jednoznačnosti limity je derivace určená jednoznačně (pokud existuje).
(iii) Definice derivace, na rozdíl od limity, pracuje i s hodnotou f v bodě x0.
(iv) Limita z definice derivace se dá také přepsat do tvaru
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h
.
3.3. DERIVACE FUNKCE
73
(v) Derivace obecně existovat nemusí. Zvolme třeba f (x) = |x| a x0 = 0. Pak
f
0
+(0) =
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+
1 = 1,
ale
f
0
−(0) =
lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−1 = −1.
Poznámka 3.3.3. Vztah pro f 0(x0) = A, kde A ∈ R, se také dá přepsat do tvaru