Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
= g
0(f(x
0))f
0(x
0).
Zabývejme se nyní zbývajícím případem f 0(x0) = 0. V tomto případě je pravá
strana dokazované rovnosti nulová. Zbývá ukázat, že nulová je i limita na levé
straně. Zvolme ε > 0. Pak existuje δ1 > 0 takové, že
x ∈ Pδ
1 (x0 )
=⇒
f (x) − f (x0)
x − x0
< ε.
Dále díky spojitosti f , konečnosti g0(f (x0)) a Větě o vztahu limity a omezenosti
(Věta 3.1.21) existují δ2 > 0 a K > 0 taková, že
x ∈ Pδ
2 (x0 ) ∧ f (x) 6= f (x0 )
=⇒
g(f (x)) − g(f (x0))
f (x) − f (x0)
≤ K.
Položíme-li δ = min{δ1, δ2}, máme pro x ∈ Pδ(x0) splňující f (x) 6= f (x0)
g(f (x)) − g(f (x0))
x − x0
=
g(f (x)) − g(f (x0))
f (x) − f (x0)
f (x) − f (x0)
x − x0
< Kε.
Na druhou stranu, pokud x ∈ Pδ(x0) splňuje f (x) = f (x0), triviálně platí
g(f (x)) − g(f (x0))
x − x0
=
0
x − x0
= 0 < Kε.
Celkově tedy máme
x ∈ Pδ(x0)
=⇒
g(f (x)) − g(f (x0))
x − x0
< Kε,
tedy (g ◦ f )0(x0) = 0.
Příklad 3.3.15. Platí
p
1 + x2
0
=
x
√
1 + x2
,
neboť
d
dx
(1 + x
2) = 2x na R
a
d
dy
√
y =
1
2
√
y
na R.
3.3. DERIVACE FUNKCE
77
Věta 3.3.16 (Derivace inverzní funkce). Nechť x0 ∈ R a f : R → R splňuje:
(i) existují α, β1, β2 > 0 taková, že f je prosté na (x0 − α, x0 + α) a zobazuje tento
interval na (f (x0) − β1, f (x0) + β2)
(ii) existuje vlastní nenulová f 0(x0)
(iii) f −1 je spojitá v bodě y0 = f (x0).
Pak existuje derivace f −1 v bodě y0 a platí
(f
−1)0(y
0) =
1
f 0(x0)
neboli
(f
−1)0(f(x
0)) =
1
f 0(x0)
neboli
(f
−1)0(y
0) =
1
f 0(f −1(y0))
.
Důkaz. Protože f 0(x0) 6= 0, máme na jistém prstencovém okolí Pδ(x0) diferenční
podíly nenulové (dokonce odražené od nuly) a proto lze definovat pomocnou funkci
h(x) =
(
x−x0
f (x)−f (x0)
pro x ∈ Pδ(x0)
1
f 0(x0)
pro x = x0.
Navíc podle aritmetiky limit a definice derivace je tato funkce spojitá v x0. Nyní již
jen stačí použít definici derivace, skutečnost, že f −1 existuje na jistém okolí bodu
f (x0) (podle (ii)), a Větu o spojitosti složené funkce (Věta 3.2.9), v níž používáme
(iii) a spojitost h v x0,
(f
−1)0(f(x
0)) =
lim
y→f (x0)
f −1(y) − f −1(f (x0))
y − f (x0)
=
lim
y→f (x0)
h(f
−1(y)) = h(f−1(f(x
0))) = h(x0) =
1
f 0(x0)
.
Poznámka 3.3.17. Tvrzení věty si lze dobře zapamatovat na základě následující
úvahy:
1 = x
0|
x=x0 = (f
−1(f(x)))0|
x=x0 = (f
−1)0(f(x
0))f
0(x
0).
To ale není důkaz předchozí věty, protože obecně nevíme, zda je f −1 diferencova-
telná.
Příklad 3.3.18. Funkce y 7→
√
y je inverzní k f (x) = x2. Funkce f je prostá na
(0, ∞) a zobrazuje jej prostě na (0, ∞). Dále zde má nenulovou derivaci f 0(x) = 2x
a už také víme, že odmocnina je spojitá. Proto díky vztahu y = x2
f
−1(y
0) =
1
f 0(x0)
=
1
2x0
=
1
2
√
y0
.
Poznámka 3.3.19. Při aplikaci věty je nutné nezapomínat na to, že celý proces
se sestává ze dvou kroků. V prvním kroku vezmeme převrácenou hodnotu čísla
f 0(x0) a ve druhém kroku přejdeme k proměnné y0 (funkce f pracuje na prostoru
R, jehož prvky označujeme x a x0, zatímco funkce f