Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
∀z1, z2 ∈ C
(ii) exp(x + iy) = exp x(cos y + i sin y)
∀x, y ∈ R
(iii) exp 0 = 1
(iv) restrikce funkce exp na R (reálná funkce) je rostoucí a jejím oborem hodnot
je (0, +∞)
(v) restrikce funkce exp na R splňuje exp
0 x = exp x
∀x ∈ R.
Odvodíme si ještě další důležité vlastnosti na R.
Tvrzení 3.4.5. Dále platí
exp(−x) =
1
exp x
∀x ∈ R
(3.4.7)
lim
x→0
exp x − 1
x
= 1
(3.4.8)
84
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
inverzní funkce log zobrazuje (0, +∞) na R, je spojitá,
rostoucí, záporná na (0, 1) a kladná na (1, +∞)
(3.4.9)
log(xy) = log x + log y
∀x, y ∈ (0, +∞)
(3.4.10)
log 1 = 0
(3.4.11)
log x
m = m log x
∀x ∈ (0, +∞) ∀m ∈ Z
(3.4.12)
log
0 x =
1
x
∀x ∈ (0, +∞)
(3.4.13)
lim
x→1
log x
x − 1
= lim
h→0
log(1 + h)
h
= 1.
(3.4.14)
Důkaz. Vlastnost (3.4.7) plyne snadno z (i), kde položíme 0 = x + (−x).
Vlastnost (3.4.8) plyne z (v) a (iii). Z (iii) plyne také (3.4.11).
Část (3.4.9) se získá z (iii), (iv) a Lemmatu o spojitosti inverze (Lemma 3.3.21;
využíváme (v)).
Dokažme (3.4.10). Pišme u = log x, v = log y. Aplikací (i) dostáváme
log x + log y = u + v = log exp(u + v)
= log exp u exp v = log(xy).
Vlastnost (3.4.12) se pro m ∈ N snadno získá indukcí z (3.4.10). Pro m = 0 plyne
z (3.4.11). Ve zbývajícím případě, kdy −m ∈ N, stačí použít předešlé výsledky a
0 = log 1 = log(x
mx−m) = log(xm) + log(x−m).
Dále podle druhé verze věty o derivaci inverzní funkce (Věta 3.3.16; předpoklady
jsou splněny podle (iv) a (v)) máme
log
0 x =
1
exp0 y
=
1
exp y
=
1
exp(log x)
=
1
x
.
Poslední dokazovaný vztah plyne z
1 = lim
y→0
exp y − 1
y
= lim
x→1
exp(log x) − 1
log x
= lim
x→1
x − 1
log x
,
kde jsme použili (3.4.8) a Větu o limitě složené funkce (Věta 3.1.46) s vnitřní funkcí
x 7→ log x, která nenabývá své limitní hodnoty díky (3.4.9).
Dále se budeme zabývat odmocninami. Nechť m ∈ N. Snadno pomocí axiomů
(O2) a (O3) z definice reálných čísel ověříme, že funkce f : x 7→ xm je rostoucí
na [0, +∞) a je-li dokonce m liché, je rostoucí na celém R. Můžeme tedy definovat
m
√
x = x
1
m
:= f
−1(x)
(
x ∈ R
pro m liché
x ∈ [0, +∞)
pro m sudé.
Podle Lemmatu o spojitosti inverzní funkce (Lemma 3.3.21) dostáváme spojitou
rostoucí funkci, která v prvním případě zobrazuje R na R a ve druhém [0, ∞)
na [0, ∞).
3.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
85
Dále můžeme zavést
x
− 1
m
=
1
x
1
m
,
kde definiční obor opět závisí na paritě m, navíc z něj vyjmeme počátek. Pro p ∈ Z
a q ∈ N definujeme
x
p
q
=
q
√
xp
a definiční obor závisí na znaménku p (je-li záporné, vyjmeme počátek) a paritě q
(je-li liché, zúžíme definiční obor na R
+
0 či R
+; to ovšem platí jen pro nesoudělný
tvar
p
q , v obecném případě záleží i na paritě p). Protože jsme nepředpokládali
nesoudělnost čísel p a q, definiční obor racionální mocniny závisí na reprezentaci
exponentu pomocí zlomku. Nyní si dokážeme základní vlastnosti těchto funkcí.