Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n−1
X
k=0
n − 1
k
f
(k)g(n−1−k)
0
=
n−1
X
k=0
n − 1
k
f
(k+1)g(n−1−k) +
n−1
X
k=0
n − 1
k
f
(k)g(n−k)
=
n−1
X
k=1
n − 1
k − 1
f
(k)g(n−k) + f(n)g + fg(n) +
n−1
X
k=1
n − 1
k
f
(k)g(n−k)
=
n
X
k=0
n
k
f
(k)g(n−k).
Příklad 3.5.6. Spočtěme (x2ex)L. Podle Leibnizova pravidla máme (nenulové
jsou jen tři členy)
(x
2ex)L = (x2)(0)(ex)L +
50
1
(x
2)0(ex)XLIX +
50
2
(x
2)00(ex)XLVIII
= x
2ex + 100xex + 50 · 49ex.
Úloha 3.5.7. Spočtěte (ex sin x)X(0).
Řešení:
Použijeme Leibnizovo pravidlo. Předně si uvědomme, že pro všechna
k ∈ N0 platí exp
(k)(0) = exp 0 = 1. Dále, protože sin(k+4) = sin(k) pro všechna
k ∈ N0, a
sin 0 = 0
sin
0 0 = cos 0 = 1
sin
00 0 = − sin 0 = 0
sin
000 0 = − cos 0 = −1
sin
IV(0) = sin 0 = 0,
3.5. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ
95
dostáváme díky Leibnizově formuli
(e
x sin x)X(0) =
10
0
· 1 · 0 +
10
1
· 1 · 1 +
10
2
· 1 · 0 +
10
3
· 1 · (−1)
+
10
4
· 1 · 0 +
10
5
· 1 · 1 +
10
6
· 1 · 0 +
10
7
· 1 · (−1)
+
10
8
· 1 · 0 +
10
9
· 1 · 1 +
10
10
· 1 · 0
=
10
1
−
10
3
+
10
5
−
10
7
+
10
9
= 10 −
10 · 9 · 8
3!
+
10 · 9 · 8 · 7 · 6
5!
− −
10 · 9 · 8
3!
+ 10
= 2 · 10 − 2 · 120 + 252 = 32.
I
Nyní uvážíme situaci, kdy N ∈ N, N ≥ 2 a f : R
N → R. Body v RN zde
budeme značit x = (x1, x2, . . . , xN ).
Definice 3.5.8 (Parciální derivace). Nechť a ∈ R
N , f : RN → R a dále nechť
i ∈ {1, 2, . . . , N }. Jestliže existuje vlastní limita
lim
h→0
f (a1, . . . , ai + h, . . . , aN ) − f (a)
h
,
řekneme, že funkce f má v bodě a parciální derivaci vzhledem k proměnné xi a
značíme ji
∂f
∂xi
(a).
Poznámka 3.5.9. (i) V definici jsme zafixovali všechny proměnné až na tu, podle
níž derivujeme. Tím jsme přešli k funkci jedné proměnné a tak při výpočtu parci-
álních derivací můžeme používat techniky odvozené pro funkce jedné reálné pro-
měnné.
(ii) U funkcí více proměnných bývá zvykem nepřipouštět nevlastní parciální deri-
vace.
(iii) Často se používá kratší značení fx
i (a) nebo ∂i f (a).
(iv) Zobrazení a 7→
∂f
∂xi
(a) je opět funkce z R
N do R. Má tedy smysl zkoumat její
derivaci podle kterékoliv proměnné xj (počítáme tedy
∂
∂xj
(
∂f
∂xi
)). Výsledná funkce
se značí
∂
2 f
∂xi∂xj
nebo fx
i xj a nazývá se druhou parciální derivací podle proměnných
xi a xj. Pokud i = j, píše se
∂
2 f
∂x2
i
nebo fx
i xi .
Příklad 3.5.10. Nechť f (x, y) = x2 + xy. Pak
fx = 2x + y
fy = x
fxx = 2
fyy = 0
fxy = 1
fyx = 1
a všechny parciální derivace od třetího řádu výše jsou nulové.
Poznámka 3.5.11. (i) Polynomy stupně n ∈ N0 na R
2 nazýváme funkce tvaru
P
i,j∈N0,i+j≤n aij x
iyj, kde aij jsou reálné koeficienty.
(ii) Rovnost fxy = fyx neplatí obecně (ale třeba pro polynomy platí vždy).
96
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
Příklad 3.5.12. Nechť f (x, y, z) =
p
x2 + y2 + z2. Pak pro (x, y, z) 6= (0, 0, 0)