Matematická analýza - skripta

α1x sin(α

2x))

0

= e

α1x(α

1 cos(α2x) − α2 sin(α2x)) + ie

α1x(α

1 sin(α2x) + α2 cos(α2x))

= e

α1x(α

1 + iα2)(cos(α2x) + i sin(α2x)) = αe

αx.

Pokud se podíváme zpět na věty, které jsme dokázali dříve pro reálné funkce,

pak nemá smysl přeformulovávat věty, ve kterých hraje roli uspořádání reálných
čísel. Tedy konkrétně Věta o zachování nerovnosti při limitním přechodu (Věta
3.1.34) a Věta o dvou strážnících (Věta 3.1.36) nemají rozumnou analogii pro
komplexní funkce. U vět o složených zobrazeních musíme předpokládat, že vnitřní
funkce musí být reálná. To se týká Vět o limitě a spojitosti složené funkce (Věty
3.1.46, 3.2.9, 3.2.13) a Věty o derivaci složené funkce (Věta 3.3.14). Dále nemá
zatím smysl mluvit o inverzní funkci pro komplexní funkce, tedy Věty 3.3.16,
3.3.22, 3.3.23 a Lemma 3.3.21 nemají pro komplexní funkce svoji analogii. Ostatní
věty lze pro komplexní funkce jednoduše přeformulovat.

Cvičení 3.6.6. Přeformulujte (případně mírně modifikujte) ty věty z celé kapitoly,
které mají smysl pro komplexní funkce, a proveďte jejich důkaz.

100

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Shrnutí a závěrečné poznámky. V této kapitole jsme se seznámili s pojmem

limita funkce, přičemž jsme se soustředili na vlastní limity ve vlastních bodech.
Dále jsme si zavedli pojem spojitost funkce (v bodě či na intervalu) a studovali
jsme různé důsledky existence limit a spojitosti funkce. Seznámili jsme se i s po-
jmem derivace funkce a ukázali jsme si různé důsledky existence (vlastní) derivace
funkce. Zavedli jsme si třídu elementárních funkcí (i když dvě základní věty si
dokážeme později, v kapitole věnované mocninným řadám) a ukázali si jejich zá-
kladní vlastnosti. Kapitola se věnovala především reálným funkcím, na závěr jsme
si proto uvedli základní rozdíly pro funkce komplexní.

Kapitola 4

Primitivní funkce

V první části této kapitoly se budeme zabývat hledáním primitivních funkcí, což je
přesně opačný proces, než je derivování. Nejjednodušší metody budou založeny na
zkušenostech z derivování. Ukážeme si ale i pokročilejší metody. Na úlohu hledání
primitivní funkce lze také pohlížet jako na velmi jednoduchý typ diferenciální
rovnice. Toto téma lehce rozšíříme ve druhé části kapitoly, kde se naučíme řešit
dva základní typy diferenciálních rovnic a řekneme si i něco málo o rovnicích
diferenčních.

4.1

Základní pojmy a příklady

Definice 4.1.1 (Primitivní funkce). Nechť f, F : R → R. Řekneme, že F je primi-
tivní funkcí k f na (a, b), jestliže F 0 = f na (a, b). Pak píšeme F (x) =

R f (x) dx.

Poznámka 4.1.2. Vzhledem k tomu, že primitivní funkce k součtu funkcí je
součet primitivních funkcí (dokážeme si níže), zřejmě pro komplexní funkci f =
Re f + i Im f platí

Z

f dx =

Z

Re f dx + i

Z

Im f dx.

(4.1.1)

Proto není třeba primitivní funkce pro komplexní funkce studovat zvlášť, stačí dle
vztahu (4.1.1) použít výsledky pro reálné funkce.