Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
hledat na (1, +∞) (na této množině je integrand dokonce spojitý, primitivní funkci
zde tedy určitě má). Po rozšíření a aplikaci Věty o primitivní funkci součtu a
násobku (Věta 4.1.20) máme
Z
dx
√
x + 1 −
√
x − 1
=
1
2
Z
√
x + 1 dx +
1
2
Z
√
x − 1 dx
=
1
3
(x + 1)
3
2
+
1
3
(x − 1)
3
2
+ C pro x ∈ (1, +∞).
I
Poznámka 4.1.22. První rovnost v závěrečném výpočtu jsme byli oprávněni
napsat teprve v momentě, kdy jsme měli tu druhou (nebo v momentě, kdy jsme
věděli, že na pravé straně této rovnosti jsou dva spojité integrandy).
Následující věta vyjadřuje v řeči primitivních funkcí vztah pro derivaci součinu.
108
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Věta 4.1.23 (Metoda per partes). Nechť f, g : R → R mají na (a, b) vlastní deri-
vace. Pak
Z
f
0g dx = fg −
Z
f g
0 dx,
jestliže alespoň jedna z primitivních funkcí existuje.
Důkaz. Nechť existuje primitivní funkce na levé straně. Označme ji H (tedy H0 =
f 0g). Pak
(f g − H)
0 = f0g + fg0 − f0g = fg0.
Funkce f g − H je tedy primitivní k f g0 a navíc platí dokazovaná rovnost. Druhý
případ je analogický.
Příklad 4.1.24.
Z
xe
x dx =
"
f = e
x
f
0 = ex
g = x
g
0 = 1
#
= xe
x −
Z
e
x dx = xex − ex + C pro x ∈ R.
Příklad 4.1.25.
Z
arcsin x dx =
Z
1 · arcsin x dx =
" f = x
f
0 = 1
g = arcsin x
g
0 =
1
√
1−x2
#
= x arcsin x −
Z
x
√
1 − x2
dx = x arcsin x +
p
1 − x2 + C pro x ∈ (−1, 1).
Příklad 4.1.26. Pro n ∈ N0 označme In :=
R sinn x dx. Pak I0 = x + C, I1 =
− cos x + C a pro n ≥ 2 máme
In =
Z
sin
n x dx =
"
f = − cos x
f
0 = sin x
g = sin
n−1 x g0 = (n − 1) sinn−2 x cos x
#
= − cos x sin
n−1 x + (n − 1)
Z
sin
n−2 x(1 − sin2 x) dx
= − cos x sin
n−1 x + (n − 1)
Z
sin
n−2 x dx − (n − 1)
Z
sin
n x dx
= − cos x sin
n−1 x + (n − 1)I
n−2 − (n − 1)In.
Odtud
In = −
1
n
cos x sin
n−1 x +
n − 1
n
In−2
pro x ∈ R.
Příklad 4.1.27. Pro n ∈ N označme Jn :=
R
1
(1+x2)n dx. Pak J1 = arctan x + C
a pro n ≥ 2 máme
Jn =
Z
1
(1 + x2)n
dx =
" f = x
f
0 = 1
g =
1
(1+x2)n
g
0 =
−2nx
(1+x2)n+1
#
=
x
(1 + x2)n
+
Z
2nx
2
(1+x2)n+1 dx =
x
(1 + x2)n
+
Z
2n + 2nx2 − 2n
(1 + x2)n+1
dx
=
x
(1 + x2)n
+ 2nJn − 2nJn+1.
4.1. ZÁKLADNÍ POJMY A PŘÍKLADY
109
Proto
Jn+1 =
2n − 1
2n
Jn +
1
2n
x
(1 + x2)n
pro x ∈ R.
Další technikou je substituce, která je odvozena od vztahu pro derivaci složené
funkce. Rozlišujeme dvě situace. První je ta, kdy známe
R f (x) dx = F (x) + C, a
potřebujeme najít
R f (ϕ(t))ϕ0(t) dt. Máme tedy
x = ϕ(t)
spolu s
dx
dt
= ϕ
0(t)
a dostáváme
Z
f (ϕ(t))ϕ
0(t) dt =
Z
f (x) dx = F (x) + C = F (ϕ(t)) + C.
Korektnost této úpravy nám zaručí následující věta.
Věta 4.1.28 (První substituční metoda). Nechť F je primitivní funkce k f na
intervalu (a, b) a ϕ : (α, β) → (a, b) má všude v (α, β) vlastní derivaci. Pak F ◦ ϕ
je primitivní funkce k (f ◦ ϕ)ϕ0 na (α, β).
Důkaz. Podle Věty o derivaci složené funkce (Věta 3.3.14) máme na (α, β)