Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
114
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Dopředu můžeme prozradit, že výpočet bude úspěšný, kdykoliv se nám podaří
nalézt všechny kořeny polynomu ve jmenovateli.
Postup se bude skládat ze tří částí. Nejprve nás čeká úprava racionální lomené
funkce do tvaru vhodného pro rozklad na parciální zlomky. Druhým krokem je
rozklad na parciální zlomky a třetím je určení primitivní funkce pro vzniklé zlomky.
Zde budeme rozlišovat šest typů zlomků a postupně si ukážeme, jak pro jednotlivé
typy určit primitivní funkce.
V dalším bude
R(x) =
P (x)
Q(x)
,
kde P, Q jsou polynomy (s reálnými koeficienty).
4.2.1
Přípravné práce
Nejprve za pomoci částečného podělení dosáhneme tvaru
R(x) = P1(x) +
P2(x)
Q(x)
,
kde P1, P2 jsou polynomy a st P2 < st Q.
Příklad 4.2.1.
x3
x2 + 1
=
x3 + x − x
x2 + 1
= x −
x
x2 + 1
.
Pro polynom P1 umíme nalézt primitivní funkci a zbývá se postarat o
P2(x)
Q(x) .
Bez újmy na obecnosti v dalším tedy předpokládejme, že P1 = 0, P2 = P .
Nyní ještě rozložíme polynom Q na ireducibilní polynomy (ve smyslu polynomů
s reálnými koeficienty). Budeme rozlišovat případy reálných a komplexních kořenů.
Použijeme následující výsledek.
Lemma 4.2.2. Nechť Q je polynom s reálnými koeficienty a a+ib, kde a, b ∈ R, je
jeho komplexní kořen. Pak a−ib je také jeho kořenem a navíc má stejnou násobnost
jako a + ib.
Důkaz. Nechť polynom Q má stupeň n ∈ N a koeficienty c0, c1, . . . , cn ∈ R. Ozna-
čme z = a + ib. Protože z je kořenem, dostáváme
0 = 0 = Q(z) = cnzn + · · · + c1z + c0 = cnzn + · · · + c1z + c0
= cnzn + · · · + c1z + c0 = cnz
n + · · · + c
1z + c0 = Q(z).
Proto a − ib je také kořenem. V takové situaci lze z polynomu Q vytknout x − a − ib
a také x − a + ib. Můžeme tedy vytknout polynom
Q1(x) = (x − a − ib)(x − a + ib) = (x − a)
2 + b2.
To je polynom s reálnými koeficienty, proto
Q(x)
Q1(x)
je rovněž polynom s reálnými
koeficienty. Výše uvedený proces tedy můžeme provést tolikrát, kolik je násobnost
kořenu a + ib.
4.2. PARCIÁLNÍ ZLOMKY, RACIONÁLNÍ FUNKCE
115
Díky předchozímu lemmatu dostáváme, že můžeme napsat
Q(x) = c(x − α1)
r1 . . . (x − α
k )
rk (x2 + p
1x + q1)
s1 . . . (x2 + p
lx + ql)
sl , (4.2.1)
kde c ∈ R, αi jsou reálné kořeny, ri je jejich násobnost, x
2 +pjx+qj jsou ireducibilní
polynomy vzniklé z dvojic komplexně sdružených kořenů a sj je jejich násobnost.
Poznámka 4.2.3. Tento krok je ono jediné místo, kde může náš postup selhat.
Nalezení kořenů polynomů vyšších stupňů totiž obecně není možné.
4.2.2
Rozklad na parciální zlomky
Nyní jsme již připraveni provést hlavní krok. Důkaz následujícího tvrzení je možno
nalézt například v [Ja IPI].
Věta 4.2.4 (O rozkladu na parciální zlomky). Nechť P, Q jsou dva polynomy s re-
álnými koeficienty, st P < st Q a platí (4.2.1). Pak existují sady reálných konstant
Am