Matematická analýza - skripta

R

1

(1+t2)k dt se řeší metodou per partes aplikovanou na

tvar

R 1 ·

1

(1+t2)k dt, a vyjde rekurentní vzorec.

Podívejme se ještě na jednu speciální metodu rozkladu na parciální zlomky.

Integrujeme-li racionální lomenou funkci v případě, kdy polynom ve jmenova-
teli má větší množství vícenásobných kořenů, oproti standardnímu rozkladu na
parciální zlomky se dá výpočet zrychlit za použití níže uvedené metody. Důkaz
příslušného tvrzení lze nalézt například v [Ja IPI, str. 230–233].

Věta 4.2.13 (Ostrogradského metoda). Nechť P, Q jsou dva polynomy s reálnými
koeficienty, st P < st Q a platí

Q(x) = (x − α1)

r1 . . . (x − α

k )

rk (x2 + p

1x + q1)

s1 . . . (x2 + p

lx + ql)

sl ,

kde αi jsou reálné kořeny, ri je jejich násobnost, x

2 + pjx + qj jsou ireducibilní

polynomy vzniklé z dvojic komplexně sdružených kořenů a sj je jejich násobnost.
Definujme

Q1(x) := (x − α1)

r1−1 . . . (x − α

k )

rk−1(x2 + p

1x + q1)

s1−1 . . . (x2 + p

lx + ql)

sl−1

a

Q2(x) := (x − α1) . . . (x − αk)(x

2 + p

1x + q1) . . . (x

2 + p

lx + ql)

(tedy Q = Q1Q2). Pak existují polynomy P1, P2 s reálnými koeficienty takové, že
st P1 < st Q1, st P2 < st Q2 a

Z

P (x)

Q(x)

dx =

P1(x)

Q1(x)

+

Z

P2(x)

Q2(x)

dx.

Ostrogradského metoda se opět aplikuje v kombinaci s metodou neurčitých

koeficientů. Vycházíme ze zderivované identity z předchozí věty, kterou si ještě
upravíme

P

Q

=

d

dx

P1

Q1

+

P2

Q2

=

P 0

1Q1 − P1Q

0

1

Q2

1

+

P2

Q2

.

Přenásobením posledního vztahu Q = Q1Q2 dostáváme

P = P

0

1Q2 − P1

Q0

1

Q1

Q2 + P2Q1.

(4.2.3)

Tuto identitu používáme k určení koeficientů hledaných polynomů P1 a P2.

Příklad 4.2.14. Pomocí Ostrogradského metody řešme

R

x

(x−1)2(x+1)3 dx. Máme

Q1 = (x − 1)(x + 1)

2

a

Q2 = (x − 1)(x + 1).

4.3. SUBSTITUCE NA RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE

121

Dále víme, že existují polynomy P1, P2 splňující identitu z věty (tudíž i (4.2.3)) a
platí st P1 < 3, st P2 < 2. Proto pišme

P1 = ax

2 + bx + c,

P2 = ex + f.

Spočítejme si ještě

P

0

1 = 2ax + b,

Q

0
1 = (x + 1)

2 + 2(x + 1)(x − 1) = (x + 1)(3x − 1)

a vše dosaďme do (4.2.3)

x = (2ax + b)(x − 1)(x + 1) − (ax

2 + bx + c)(3x − 1) + (ex + f)(x − 1)(x + 1)2.

Nyní je již snadné příklad dopočítat.

4.3

Substituce vedoucí na racionální lomené funk-
ce

Budeme se zabývat dalšími případy, kdy je znám postup pro hledání primitivní
funkce. Jednak budeme pracovat s racionálními lomenými funkcemi jedné reálné
proměnné, tedy

R(x) =

P (x)

Q(x)

,

kde P, Q jsou polynomy,

budeme však také uvažovat racionální lomené funkce dvou reálných proměnných

R(u, v) =

P (u, v)

Q(u, v)

,

kde P, Q jsou polynomy dvou proměnných u a v.

Polynom dvou proměných stupně n definujeme jako

P (u, v) =

X

0≤i+j≤n

aiju

ivj,

kde aij jsou reálné koeficienty.

Příklad 4.3.1. Racionální lomenou funkcí dvou proměnných (stupně 5) je napří-
klad

R(u, v) =

u4 + v2 + 3u2v3 + 1