Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Volba t = 1 dává A = −1. Pak volby t = 0 plyne C = −2. Porovnáním koeficientů
u t2 konečně dostáváme B = 0. Odtud (na uvažovaných intervalech platí 1 − t > 0)
I =
Z
−1
t − 1
+
−2
t2 + 1
dt = − log(1 − t) − 2 arctan t + C
= − log
1 −
√
1 − 2x − x2 − 1
x
− 2 arctan
√
1 − 2x − x2 − 1
x
+ C =: F (x)
4.3. SUBSTITUCE NA RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE
127
na intervalech (−1 −
√
2, 0) a (0, −1 +
√
2). Zbývá ještě zkonstruovat primitivní
funkci pro celý interval (−1 −
√
2, −1 +
√
2) pomocí lepení. Povšimněme si, že
lim
x→0
√
1 − 2x − x2 − 1
x
= −1.
Odtud vidíme, že funkce F je spojitá v počátku, pokud ji pro x = 0 dodefinujeme
√
1−2x−x2−1
x
hodnotou −1. Lze tedy položit
I = F (x)
na (−1 −
√
2, −1 +
√
2).
I
4.3.5
Goniometrické substituce
Budeme studovat primitivní funkce typu
Z
R(cos x, sin x) dx.
Na tyto primitivní funkce se používají čtyři substituce v kombinaci s první substi-
tuční metodou:
(i) t = sin x, pokud R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x)
(ii) t = cos x, pokud R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x)
(iii) t = tan x, pokud R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x)
(iv) t = tan
x
2 , vždy.
Poslední uvedená substituce se sice dá použít vždy, ale často vede ke kompliko-
vaným výpočtům. Bývá tedy vhodné přednostně ověřit, zda nelze použít některou
z předchozích substitucí. Všechny čtyři substituce si nejprve lehce představíme a
pak je porovnáme.
Nejprve uvažme substituci t = sin x. Pak máme
dt
dx
= cos x.
V předpisu pro R(cos x, sin x) tedy umíme nahradit libovolnou mocninu sinu a sudé
mocniny kosinu díky identitě cos2 x = 1 − sin
2 x. Identity typu cos x =
p
1 − sin
2 x
používat nebudeme. Jednak totiž platí jen na částech definičního oboru, navíc
bychom po substituci nedostali racionální lomenou funkci. Ze vztahu pro
dt
dx vi-
díme, že ze zlomku musíme být schopni vytknout lichou mocninu kosinu, aby
kompenzovala příspěvek
dt
dx .
Příklad 4.3.11. Uvažme integrál
R
sin
3 x+cos2 x
cos3 x
dx. Skutečně platí
R(− cos x, sin x) =
sin
3 x + (−1)2 cos2 x
(−1)3 cos3 x
=
sin
3 x + cos2 x
− cos3 x
= −R(cos x, sin x).
Po substituci dostáváme
Z
sin
3 x + cos2 x
cos3 x
dx =
Z
sin
3 x + cos2 x
cos4 x
cos x dx =
Z
t3 + (1 − t2)
(1 − t2)2
dt,
což už umíme jednoduše dopočítat.
128
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Při substituci t = cos x máme
dt
dx
= − sin x.
Umíme nahrazovat libovolnou mocninu kosinu, sudé mocniny sinu a jednu lichou
mocninu sinu musíme mít připravenu jako kompenzaci pro
dt
dx .
Při substituci t = tan x se dají nahrazovat jen sudé mocniny sinu a kosinu,
případně výrazy jako
sin x
cos x = tan x či sin x cos x = cos
2 x tan x. Najít vyjádření pro
cos2 x a sin
2 x dá trochu práce. Trikem je si pamatovat, že vhodným vodítkem je
výraz 1 + t2. Platí totiž
1 + t
2 = 1 +
sin
2 x
cos2 x
=
cos2 x + sin
2 x
cos2 x
=
1
cos2 x