Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a nyní již stačí jen všude přepsat t na
6
√
x + 1 a uvědomit si, že výpočet výše má
smysl pro x ∈ (−1, ∞).
4.3.4
Eulerovy substituce
Nechť a, b, c ∈ R. Budeme studovat primitivní funkce typu
Z
R
x,
p
ax2 + bx + c
dx.
Poradíme si v následujících případech (vzájemně se nevylučují):
(i) polynom ax2 + bx + c má dva reálné kořeny (nemusí být různé)
(ii) platí a > 0
(iii) platí c > 0.
Ukážeme si, že první případ se dá převést na odmocninovou substituci, pro
zbylé dva se naučíme nové substituce.
124
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Poznámka 4.3.6. Máme pokryté všechny rozumné případy. Pokud totiž nena-
stává ani první ani druhá možnost, máme buď polynom stupně jedna (a můžeme
použít odmocninovou substituci), nebo ireducibilní polynom stupně dva, který má
pouze záporné hodnoty, a proto má integrand prázdný definiční obor.
Poznámka 4.3.7. Ve světle předchozí poznámky se může zdát, že studium pří-
padu, kdy c > 0, a jemu odpovídající substituce, je zbytečné. Volba substituce ale
často značně ovlivní délku a náročnost výpočtu.
Věnujme se nyní případu dvou reálných kořenů x1 ≤ x2. Předně, pokud x1 =
x2, platí
p
ax2 + bx + c =
p
a(x − x1)2 =
√
a|x − x1|.
Integrand má neprázdný definiční obor jen pokud a > 0. V tom případě se na
intervalech (−∞, x1) a (x1, ∞) jedná o racionální lomenné funkce a tuto situaci
umíme řešit (v bodě x1 bude možná nutné použít lepení).
V dalším tedy stačí uvažovat jen zajímavější případ x1 < x2. Máme
ax
2 + bx + c = a(x − x
1)(x − x2)
a pro a > 0 je odmocnina definována na intervalu [x1, x2], zatímco pro a < 0 na
(−∞, x1]∪[x2, ∞). Přepis pro aplikaci odmocninové substituce vypadá následovně
p
ax2 + bx + c =
−
√
a
q
x−x1
x−x2
(x − x2)
pro a > 0 a x ∈ (−∞, x1)
√
a
q
x−x1
x−x2
(x − x2)
pro a > 0 a x ∈ (x2, +∞)
√
−a
q
x−x1
x2−x
(x2 − x)
pro a < 0 a x ∈ (x1, x2).
Přejděme nyní k případu a > 0. Použijeme první Eulerovu substituci, kde novou
proměnnou zavádíme předpisem
p
ax2 + bx + c = ±
√
ax + t
(máme dvě možnosti, přičemž zvolíme tu, která nám dá jednodušší zápis). Po
umocnění máme
ax
2 + bx + c = ax2 ± 2
√
axt + t
2
(umocňujeme dva nezáporné výrazy, jedná se tedy o ekvivalentní úpravu). Odtud
x =
t2 − c
b ∓ 2
√
at
a
dx
dt
=
2t(b ∓ 2
√
at) ± 2
√
a(t2 − c)
(b ∓ 2
√
at)2
.
Tento přístup odpovídá druhé substituční metodě. Umíme tedy x vyjádřit jako
racionální lomenou funkci v proměnné t, díky tomu lze také
√
ax2 + bx + c napsat
jako racionální lomenou funkci v proměnné t a konečně i
dx
dt je racionální lomená
funkce v proměnné t. Proto bude po úpravě celý integrand racionální lomená funkce
v proměnné t.
4.3. SUBSTITUCE NA RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE
125
Poznámka 4.3.8. Proměnnou t lze zavést dokonce čtyřmi způsoby
p
ax2 + bx + c = ±