Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
uv + 1
.
4.3.1
Exponenciální substituce
Primitivní funkce typu
Z
R(e
αx) dx,
kde α ∈ R \ {0}, řešíme substitucí t = e
αx
Z
R(e
αx) dx
1.s.m.
=
"
t = e
αx
”dt = αe
αx dx”
#
=
Z
R(t)
1
αt
dt.
122
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Integrand na pravé straně je zřejmě racionální lomená funkce v proměnné t, čehož
jsme chtěli dosáhnout. Povšimněme si ještě, že eαx má všude vlastní derivaci (jedna
z klíčových podmínek První substituční metody, tedy Věty 4.1.28).
Příklad 4.3.2. Uvažme
R
e
x
3
+1
e
x
2
+1
e−x dx. Položíme-li α =
1
6 , snadno nahlédneme,
že se jedná o právě studovaný typ úlohy. Použijeme tedy substituci t = e
x
6
Z
e
x
3
+ 1
e
x
2
+ 1
e
−x dx
1.s.m.
=
"
t = e
x
6
”dt =
1
6 e
x
6
dx”
#
=
Z
t2 + 1
t3 + 1
1
t6
6
t
dt = 6
Z
t2 + 1
t7(t3 + 1)
dt
a primitivní funkci napravo již umíme určit.
4.3.2
Logaritmická substituce
Primitivní funkce typu
Z
1
x
R(log x) dx
hledáme pomocí substituce t = log x
Z
1
x
R(log x) dx
1.s.m.
=
"
t = log x
”dt =
1
x dx”
#
=
Z
R(t) dt.
Integrand na pravé straně je racionální lomená funkce v proměnné t, což bylo
naším cílem. Povšimněme si ještě, že log x má všude vlastní derivaci na (0, +∞)
(jedna z klíčových podmínek První substituční metody, tedy Věty 4.1.28).
Příklad 4.3.3.
Z
log
2 x + 1
x log x
dx
1.s.m.
=
"
t = log x
”dt =
1
x dx”
#
=
Z
t2 + 1
t
dt =
t2
2
+ log |t| + C
=
log
2 x
2
+ log | log x| + C
na (0, 1) nebo (1, +∞).
4.3.3
Odmocninová substituce
Nechť s ∈ N \ {1} a a, b, c, d ∈ R splňují ad − bc 6= 0. Primitivní funkce typu
Z
R
x,
s
r
ax + b
cx + d
dx
řešíme substitucí t =
s
q
ax+b
cx+d . Máme pak totiž
x =
b − dts
cts − a
4.3. SUBSTITUCE NA RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE
123
a
dt
dx
=
1
s
ax + b
cx + d
1
s −1
ad − bc
(cx + d)2
=
1
s
1
ts−1
ad − bc
(cx + d)2
=
ad − bc
sts−1
1
(
cb−cdts+cdts−ad
cts−a
)2
=
(cts − a)2
(ad − bc)sts−1
.
Proto
Z
R
x,
s
r
ax + b
cx + d
dx
1.s.m.
=
"
t =
s
r
ax + b
cx + d
#
=
Z
R
b − dts
cts − a
, t
(ad − bc)sts−1
(cts − a)2
dt.
Jednoduše je vidět, že integrand napravo je racionální lomená funkce v proměnné
t. Je-li s liché, za definiční obor bereme intervaly, kde cx − d 6= 0. Pro sudé s máme
navíc podmínku
ax+b
cx+d > 0.
Poznámka 4.3.4. Ve vyloučeném případě s = 1 je integrand přímo racionální
lomená funkce v proměnné x, žádnou substituci tedy nepotřebujeme. Podobně
pokud ad − bc = 0, pod odmocninou je konstanta a opět je integrand racionální
lomená funkce v proměnné x.
Příklad 4.3.5. Na intervalu (−1, ∞) spočtěme
R
1−
√
x+1
1+
3
√
x+1
dx. Provedeme substi-
tuci t =
6
√
x + 1. Platí
x = t
6 − 1
a
dt
dx
=
1
6
(x + 1)
−5 =
1
6t5
.
Proto
Z
1 −
√
x + 1
1 +
3
√
x + 1
dx
1.s.m.
=
"
t =
6
√
x + 1
#
=
Z
1 − t3
1 + t2
6t
5 dt
= 6
Z
t5 − t8
1 + t2
dt = 6
Z
− t6 + t4 + t3 − t2 − t + 1 +
t − 1
t2 + 1
dt
= −
6
7
t
7 +
6
5
t
5 +
3
2
t
4 − 2t3 + 6t + 3 log(t2 + 1) − 6 arctan t + C