Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
x + 1
+
1
2
log(x
2 + 1) + arctan x −
1
2
1
x2 + 1
+ J2,
kde (používáme rekurentní vzorec z Příkladu 4.1.27)
J2 =
1
2
J1 +
1
2
x
1 + x2
=
1
2
arctan x +
1
2
x
1 + x2
+ C.
Primitivní funkci máme buď na intervalu (−∞, −1) nebo (−1, +∞).
I
Úloha 4.2.10. Spočtěte
R
dx
1+x4 .
Řešení:
Jmenovatel má čtyři komplexní kořeny
1
√
2
+ i
1
√
2
,
−
1
√
2
+ i
1
√
2
,
−
1
√
2
− i
1
√
2
a
1
√
2
− i
1
√
2
.
4.2. PARCIÁLNÍ ZLOMKY, RACIONÁLNÍ FUNKCE
119
Spočítejme si (připomeňme, že v případě komplexních kořenů každé dvojici kom-
plexně sdružených kořenů odpovídá ireducibilní polynom stupně dva získaný jako
součin jejich kořenových činitelů)
x −
1
√
2
− i
1
√
2
x −
1
√
2
+ i
1
√
2
= x
2 −
√
2x + 1
a
x +
1
√
2
− i
1
√
2
x +
1
√
2
+ i
1
√
2
= x
2 +
√
2x + 1.
Rozklad na parciální zlomky má proto tvar
1
1 + x4
=
Ax + B
x2 −
√
2x + 1
+
Cx + D
x2 +
√
2x + 1
.
Odtud
1 = (Ax + B)(x
2 +
√
2x + 1) + (Cx + D)(x
2 −
√
2x + 1)
na C.
Volba x =
1
√
2
+ i
1
√
2
implikuje x2 −
√
2x + 1 = 0, a proto
1 =
A
1
√
2
+ i
1
√
2
+ B
1
√
2
+ i
1
√
2
2
+ 1 + i + 1
=
A
1
√
2
+ i
1
√
2
+ B
(2 + 2i) = A2
√
2i + 2B + 2Bi.
Odtud B =
1
2 a A = −
1
2
√
2
. Položíme-li x = 0, máme 1 = B + D, a proto D =
1
2 .
Konečně, porovnání koeficientů u x3 dává C = −A =
1
2
√
2
. Máme tedy
Z
dx
1 + x4
=
Z
− 1
2
√
2
x +
1
2
x2 −
√
2x + 1
dx +
Z
1
2
√
2
x +
1
2
x2 +
√
2x + 1
dx.
Nyní se již příklad snadno dopočítá pomocí vzorců z Poznámky 4.1.42.
I
Poznámka 4.2.11. Předchozí metoda se dá snadno modifikovat na libovolný
příklad typu
R
dx
1+x2k , k ∈ N.
Poznámka 4.2.12. Těžko lze očekávat, že si studenti budou dlouhodobě pama-
tovat třeba vztah z Poznámky 4.1.42. Čtenáři tedy doporučujeme, aby si zapama-
toval spíše postup hledání primitivních funkcí pro racionální funkce:
Nejprve se provede částečné podělení polynomů, abychom v případě potřeby snížili
stupeň čitatele, pak rozložíme jmenovatele na ireducibilní polynomy (ve smyslu po-
lynomů s reálnými koeficienty).
Druhý krok je rozklad na parciální zlomky.
Zlomky, kde je jmenovatelem polynom stupně jedna, umíme snadno vyřešit.
U zlomků typu
Bx+D
x2+px+q si algebraickou úpravou vytvoříme v čitateli derivaci jme-
novatele, čímž dostaneme zlomek, pro který již umíme nalézt primitivní funkci
(dostaneme logaritmus). Ve jmenovateli případného zbytkového členu provedeme
120
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
převod na čtverec a po substituci dostáváme arkustangens.
U zlomků typu
Bx+D
(x2+px+q)k si algebraickou úpravou vytvoříme v čitateli derivaci po-
lynomu x2 + px + q, čímž dostaneme zlomek, pro který již umíme nalézt primitivní
funkci (dostaneme násobek
1
(x2+px+q)k−1 ). Ve zbytkovém členu provedeme převod
na čtverec a po substituci dostaneme násobek
1
(1+t2)k . Nyní si již stačí pamatovat,
že primitivní funkce typu