Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
√
x a při pře-
počítávání proměnných je úplně jedno, se kterou z těchto formulí pracujeme). Na
druhou stranu, ve výpočtu se bude vyskytovat právě jeden z výrazů
dx
dt a
dt
dx , což
již podává informaci o použité substituční metodě.
(vi) Poměrně často se stává, že při aplikaci substitučních metod nejsou v několika
bodech splněny podmínky na derivaci funkce ϕ. V takovém případě použijeme
substituční metodu na vzniklých podintervalech a pak se pokusíme použít lepení.
4.1. ZÁKLADNÍ POJMY A PŘÍKLADY
111
Příklad 4.1.33. Nalezněme
R
3x
2
1+x6 dx. Provedeme substutuci t = x
3, což je totéž
jako t = 3
√
x. Použijeme-li první substituční metodu, máme
Z
3x2
1 + x6
dx
1.s.m
=
"
t = x
3
”dt = 3x
2 dx”
x ∈ R
t ∈ R
#
=
Z
1
1 + t2
dt = arctan t + C
= arctan x
3 + C
pro x ∈ R.
Druhá substituční metoda se aplikuje následovně
Z
3x2
1 + x6
dx
2.s.m
=
"
x =
3
√
t
”dx =
1
3 t
− 2
3
dt”
t ∈ R
x ∈ R
#
=
Z
3t
2
3
1 + t2
1
3 t
− 2
3
dt =
Z
1
1 + t2
dt
= arctan t + C = arctan x
3 + C
pro x ∈ R.
Příklad 4.1.34. Určeme primitivní funkci
R
1
1+sin2 x dx za pomoci substituce
t = tan x. Použijeme první substituční metodu. Funkce tan však není definovaná
v bodech
π
2 + kπ, k ∈ Z, budeme tedy pracovat jen na intervalech mezi těmito
body a výslednou primitivní funkci získáme lepením. Pro pevné k ∈ Z máme
Z
1
1 + sin
2 x
dx
1.s.m
=
"
t = tan x
”dt =
1
cos2 x dx”
sin
2 x = t
2
1+t2
cos
2 x = 1
1+t2
x ∈ (−
π
2 + kπ,
π
2 + kπ)
t ∈ R
#
=
Z
1
1 +
t2
1+t2
1
1 + t2
dt =
Z
1
1 + 2t2
dt =
1
√
2
arctan(
√
2t) + C
=
1
√
2
arctan(
√
2 tan x) + C.
Při vyjadřování sin
2 x a cos2 x jsme si uvědomili, že
1 + t
2 = 1 + tan2 x =
cos2 x + sin
2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
.
Primitivní funkci
R
1
1+2t2 dt jsme určili tak, že jsme si zderivovali A arctan(
√
2t) a
koeficient A dopočítali podle výsledku.
Nyní přejděme k lepení. Funkce Φ(x) =
1
√
2
arctan(
√
2 tan x) je π-periodická,
v bodech
π
2 + kπ, k ∈ Z, není definovaná, na intervalech mezi těmito body je
rostoucí. Skok funkčních hodnot v bodech
π
2 + kπ, k ∈ Z, je vždy (vzpomeňte si
na limitní hodnoty funkce arctan)
lim
x→ π
2 +
Φ(x) − lim
x→ π
2 −
Φ(x) = −
1
√
2
π
2
−
1
√
2
π
2
= −
1
√
2
π.
Proto
Z
1
1 + sin
2 x
dx =
(
Φ(x) + C + k
1
√
2
π
pro x ∈ (−
π
2 + kπ,
π
2 + kπ),
C + (k +
1
2 )
1
√
2
π
pro x =
π
2 + kπ,
k ∈ Z, je hledaná primitivní funkce na R (používáme tvrzení o korektnosti lepení
pro spojitý integrand).
112
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Obrázek 4.1: Náčrt části grafu funkce Φ a části grafu skutečné primitivní funkce
získané lepením
Poznámka 4.1.35. Primitivní funkce
R
1
1+2t2 dt se dala spočítat také substitucí,
ale přístup přes derivování má tu výhodu, že nemusíme ověřovat žádné předpo-
klady substitučních metod. Navíc je výpočet rychlejší a lépe se dělá zpaměti.
Příklad 4.1.36.