Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
sin
n x cos x dx
1.s.m.
=
"
t = sin x
”dt = cos x dx”
#
=
Z
t
n dt =
tn+1
n + 1
+ C
=
sin
n+1 x
n + 1
+ C
na R.
Poznámka 4.1.37. Obecně platí
R f n(x)f 0(x) dx =
f
n+1 (x)
n+1
+ C, je-li f „ro-
zumnáÿ.
Příklad 4.1.38.
Z
dx
1 +
√
x
2.s.m.
=
"
x = t
2
”dx = 2t dt”
t ∈ (0, ∞)
x ∈ (0, ∞)
#
=
Z
2t
1 + t
dt =
Z
2 dt −
Z
2
1 + t
dt
= 2t − 2 log |1 + t| + C = 2
√
x − 2 log(1 +
√
x) + C
na (0, +∞).
Příklad 4.1.39.
Z
2ax + b
ax2 + bx + c
dx
1.s.m.
=
"
t = ax
2 + bx + c
”dt = (2ax + b) dx”
#
=
Z
1
t
dt = log |t| + C
= log |ax
2 + bx + c| + C
na intervalech, kde je jmenovatel nenulový.
Poznámka 4.1.40. Obecně platí
R
f
0 (x)
f (x) dx = log |f (x)| + C , je-li f „rozumnáÿ.
4.2. PARCIÁLNÍ ZLOMKY, RACIONÁLNÍ FUNKCE
113
Příklad 4.1.41. Nechť polynom x2 +bx+c nemá reálný kořen (neboli b2 −4c < 0).
Pak
Z
dx
x2 + bx + c
=
Z
dx
(x +
b
2 )
2 + c − b
2
4
=
Z
dx
(
2x+b
2
)2 +
4c−b2
4
=
4
4c − b2
Z
dx
(
2x+b
√
4c−b2
)2 + 1
1.s.m.
=
"
t =
2x+b
√
4c−b2
”dx =
√
4c−b2
2
dt”
#
=
2
√
4c − b2
Z
dt
1 + t2
=
2
√
4c − b2
arctan t + C
=
2
√
4c − b2
arctan
2x + b
√
4c − b2
+ C
na R.
Poznámka 4.1.42. Pokud p, q ∈ R a b
2 − 4c < 0, z dosavadních výsledků máme
pro x ∈ R
Z
px + q
x2 + bx + c
dx =
Z
p
2 (2x + b) + q −
bp
2
x2 + bx + c
dx
=
p
2
log(x
2 + bx + c) +
2q − bp
√
4c − b2
arctan
2x + b
√
4c − b2
+ C.
Poznámka 4.1.43. (i) V předchozích příkladech jsme aplikovali několik substi-
tucí, které integrand zjednodušily natolik, že primitivní funkce šla již snadno spočí-
tat. Nicméně čtenáře jsme nepoučili, jak takové substituce hledat. Věc se má tak,
že obecný návod na výpočet primitivní funkce pomocí substituce či metody per
partes neexistuje a tyto postupy nám nabízejí jen větší počet pokusů, jak po-
stupně přecházíme k jiným integrandům. Na druhou stranu je známa celá řada
standardních situací (které se často vyskytují v aplikacích, a proto byly důkladně
prozkoumány), v nichž je znám úspěšný postup. Těmto situacím se budeme věno-
vat v následující části textu.
(ii) S hledáním primitivních funkcí se setkáme ještě v kapitolách o Riemannově (a
Newtonově) a Lebesgueově integrálu. V tomto okamžiku si jen řekněme, výsled-
kem výpočtu těchto integrálů je číslo, na rozdíl od hledání primitivních funkcí,
kde určujeme funkci. K určení výše zmíněných integrálů se nám nicméně znalosti
primitivní funkce může hodit; srovnejte s Poznámkou 4.1.19.
(iii) Znalost standardních situací je užitečná i při počítání v obecném případě. Pak
nám totiž postačí nalézt nejen úpravu, díky níž primitivní funkci vypočteme, ale
i úpravu, která vede na některou ze standardních situací.
4.2
Rozklad na parciální zlomky, primitivní funk-
ce pro racionální lomené funkce
Jednou ze tříd funkcí, pro kterou je znám algoritmus jak nalézt jejich primitivní
funkci, jsou racionální lomené funkce. Odpovídající algoritmus si zde představíme.