Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d
dt
F (ϕ(t)) = F
0(ϕ(t))ϕ0(t) = f(ϕ(t))ϕ0(t).
Poznámka 4.1.29. (i) Vzhledem k předpokladu o vlastní derivaci je definičním
oborem ϕ celý interval (α, β).
(ii) Povšimněte si, že nepotřebujeme, aby zobrazení ϕ bylo na.
(iii) Vztah
dx
dt
= ϕ0(t) se při počítání příkladů často nahrazuje zápisem dx =
ϕ0(t) dt, který opticky lépe koresponduje s tím, co se pod integrálem při substituci
děje. Tento zápis není ale matematicky korektní, neboť dx a dt nemají samostatně
žádný význam. Vhodnější je psát ”dx = ϕ0(t) dt”.
Příklad 4.1.30. Chceme najít
R
cos
√
t
2
√
t
dt. Položme f (x) = cos x na R a ϕ(t) =
√
t
na (0, +∞). Pak F (x) = sin x je primitivní funkce k f na (a, b) = R a ϕ zobrazuje
(α, β) = (0, +∞) na (0, +∞) ⊂ (a, b) (inkluze ϕ((α, β)) ⊂ (a, b) nám zaručí, že
F ◦ ϕ bude dobře definováno na celém (α, β)). Proto máme
R cos(
√
t)
1
2
√
t
dt
1.s.m
=
"
x =
√
t
”dx =
1
2
√
t
dt”
#
=
R cos x dx
= sin x + C = sin
√
t + C
pro t ∈ (0, +∞)
U druhé možnosti užití substituční metody známe
R f (ϕ(t))ϕ0(t) dt = Φ(t) + C
a potřebujeme najít
R f (x) dx. Máme tedy
x = ϕ(t)
spolu s
dx
dt
= ϕ
0(t)
110
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
a dostáváme
Z
f (x) dx =
Z
f (ϕ(t))ϕ
0(t) dt = Φ(t) + C.
Tím ovšem naše práce nekončí. Na pravé straně potřbujeme přejít k proměnné x.
K tomu využijeme funkci ϕ−1 (potřebujeme proto navíc existenci inverze k ϕ(t))
a přepíšeme si Φ(t) = Φ(ϕ−1(x)). Korektnost předchozích úprav nám zaručí ná-
sledující věta.
Věta 4.1.31 (Druhá substituční metoda). Nechť f : (a, b) → R a nechť funkce
ϕ : (α, β) → (a, b) je bijekce, která má všude v (α, β) nenulovou vlastní derivaci,
a Φ je primitivní funkce k (f ◦ ϕ)ϕ0 na (α, β). Pak Φ ◦ ϕ−1 je primitivní funkce k f
na (a, b).
Důkaz. Použijeme Větu o derivaci složené funkce (Věta 3.3.14) a třetí verzi Věty
o derivaci inverzní funkce (Věta 3.3.23). Potřebujeme, aby ϕ0 neměnila znaménko.
Protože ϕ0 existuje všude na (α, β) a dle Věty o Darbouxově vlastnosti derivace
(Věta 4.1.15) má ϕ0 Darbouxovu vlastnost, nemůže tedy měnit znaménko (jinak
by na (α, β) existoval bod, ve kterém je ϕ0 nulová). Dostáváme
(Φ ◦ ϕ
−1)0(x) = Φ0(ϕ−1(x))(ϕ−1)0(x) = (f ◦ ϕ)(ϕ−1(x))ϕ0(ϕ−1(x))
1
ϕ0(ϕ−1(x))
= f (ϕ(ϕ
−1(x))) = f(x)
pro x ∈ (a, b).
Poznámka 4.1.32. (i) Rozdíl mezi oběma substitučními metodami je v tom, že
při první substituční metodě vyjadřujeme novou proměnnou pomocí proměnné
původní, zatímco při druhé substituční metodě vyjadřujeme původní proměnnou
pomocí proměnné nové.
(ii) Druhá substituční metoda má více předpokladů než první substituční metoda,
neboť obsahuje navíc podmínky zaručující existenci inverze.
(iii) V jedné z dalších kapitol se budeme zabývat vztahem monotonie a znaménka
derivace. Získáme výsledky, podle nichž prostota ϕ ve druhé substituční metodě
již plyne z vhodných podmínek na derivaci.
(iv) V některých situacích je možné použít obě substituční metody. Bývá zvykem
upřednostnit první substituční metodu, neboť nás čeká méně práce s ověřováním
předpokladů a je i menší nebezpečí, že předpoklady nebudou splněny.
(v) Dají-li se použít obě substituční metody, ze zápisu nemusí být ihned vidět,
kterou z nich jsme použili (například situaci x = t3 odpovídá t = 3