Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
i , B
n
j a C
n
j
takové, že platí
P (x)
Q(x)
=
A1
1
x − α1
+
A2
1
(x − α1)2
+ · · · +
A
r1
1
(x − α1)r1
+
A1
2
x − α2
+ · · · +
A
r2
2
(x − α2)r2
+ · · · +
A
rk
k
(x − αk)rk
+
B1
1 x + C
1
1
x2 + p1x + q1
+
B2
1 x + C
2
1
(x2 + p1x + q1)2
+ . . .
+
B
s1
1 x + C
s1
1
(x2 + p1x + q1)s1
+ · · · +
B1
l x + C
1
l
x2 + plx + ql
+ · · · +
B
sl
l x + C
sl
l
(x2 + plx + ql)sl
.
Poznámka 4.2.5. (i) Na kurzech matematické analýzy bývá zvykem důkaz této
věty vynechávat. Není sice vyloženě obtížný, ale rozlišuje mnoho případů, což jej
činí velice dlouhým.
(ii) Důkaz se dá oželet ještě z jednoho důvodu. Kdykoliv nalezneme koeficienty Am
i ,
Bn
j
a Cn
j , ukázali jsme, že rozklad na parciální zlomky funguje v právě řešeném
příkladu, což stačí ke zdůvodnění korektnosti úpravy.
Příklad 4.2.6. Jmenovatel funkce
2x+1
x(x+1) je součinem ireducibilních polynomů
stupně jedna. Proto hledáme rozklad ve tvaru
2x + 1
x(x + 1)
=
A
x
+
B
x + 1
.
Odtud
2x + 1 = A(x + 1) + Bx
(4.2.2)
pro x /
∈ {−1, 0}. Protože jsou funkce na obou stranách polynomy, jsou spojité na
celém R a předchozí identita tedy platí na celém R. Nyní se dá postupovat dvěma
způsoby. Jednak si můžeme uvědomit, že rovnost dvou polynomů implikuje rovnost
jejich koeficientů (skutečně, pokud by tomu tak nebylo, odečtením bychom dostali
polynom, který je identicky nulový, ale má alespoň jeden nenulový koeficient, což
není možné). Dostáváme
2x + 1 = (A + B)x + A
=⇒
A + B = 2 ∧ A = 1
=⇒
A = 1 ∧ B = 1.
116
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Druhou možností je dosazení vhodných bodů, které zjednoduší zápis identity
(4.2.2). Volíme-li x = −1, dostáváme
−2 + 1 = −B
=⇒
B = 1.
Volba x = 0, dává
1 = A.
Poznámka 4.2.7. (i) První metoda vždy vede na jednoznačně řešitelnou sou-
stavu rovnic.
(ii) Druhá metoda bývá příjemnější na použití. V případě ireducibilních poly-
nomů druhého řádu ve jmenovateli je nutné dosazovat odpovídající komplexní
kořeny. V případě vícenásobných kořenů druhá metoda nedodá dostatečné množ-
ství informací. Tento problém se dá řešit například kombinováním obou metod,
dosazováním dalších bodů nebo derivováním obou stran rovnosti a dosazováním
vícenásobných kořenů polynomu.
Příklad 4.2.8. Uvažme funkci
1
(x+1)2(x2+1) . Rozklad hledáme ve tvaru
1
(x + 1)2(x2 + 1)
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
+
Cx + D
x2 + 1
.
Odtud
1 = A(x + 1)(x
2 + 1) + B(x2 + 1) + Cx(x + 1)2 + D(x + 1)2.
Volba x = −1 dává B =
1
2 . Volba x = i dává hned dvě informace, neboť
1 = Ci(1 + i)
2 + D(1 + i)2 = Ci(2i) + 2Di = −2C + 2Di
=⇒
C =
−1
2
∧ D = 0.
Položíme-li nyní například x = 0 (je to totéž jako porovnávání koeficientů u nulté
mocniny), dostáváme z dosavadních výsledků
1 = A + B
=⇒
A =
1
2
a jsme hotovi. Jinou možností bylo obě strany rovnosti zderivovat a dosadit bod
x = −1. Máme
0 = A(x
2 + 1)|