Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
√
ax ± t.
Přechod k opačnému znaménku úplně napravo má však jen minimální dopad (jako
bychom ve výsledné racionální lomené funkci provedli ještě substituci y = −t).
Zbývá nám studium případu c > 0. Ve druhé Eulerově substituci novou pro-
měnnou zavádíme předpisem
p
ax2 + bx + c =
√
c ± xt.
Po umocnění
ax
2 + bx + c = c ± 2
√
cxt + x
2t2.
Od obou stran odečteme c a výslednou rovnost podělíme x (od této chvíle pra-
cujeme na intervalech (−∞, 0) a (0, +∞) zvlášť a výsledné primitivní funkce
v počátku musíme většinou lepit). Dostáváme
x =
±2
√
ct − b
a − t2
a
dx
dt
=
±2
√
c(a − t2) + 2t(±2
√
ct − b)
(a − t2)2
.
Opět se jedná o druhou substituční metodu a opět se dá snadno nahlédnout, že
získáme racionální lomenou funkci v proměnné t.
Úloha 4.3.9. Spočtěte
R
dx
x+
√
x2+x+1
.
Řešení:
Definiční obor integrandu je (−∞, −1) ∪ (−1, +∞). Na jednotlivých
intervalech použijeme první Eulerovu substituci v podobě
p
x2 + x + 1 = −x + t
(tato volba nám převede jmenovatel zadaného integrandu na t, zatímco volba
√
x2 + x + 1 = x + t by vedla na složitější výraz). Potom máme
x =
t2 − 1
1 + 2t
a
dx
dt
=
2t(1 + 2t) − 2(t2 − 1)
(1 + 2t)2
=
2t2 + 2t + 2
(1 + 2t)2
> 0.
Případu x ∈ (−∞, −1) odpovídá t ∈ (−
1
2 , 0) a případu x ∈ (−1, +∞) odpovídá t ∈
(0, +∞) (již také víme, že po substituci získáme racionální lomenou funkci, kterou
umíme integrovat, budou tedy splněny všechny předpoklady druhé substituční
metody). Dostáváme
I :=
Z
dx
x +
√
x2 + x + 1
2.s.m.
=
Z
2t2 + 2t + 2
t(1 + 2t)2
dt =
Z
A
t
+
B
1 + 2t
+
C
(1 + 2t)2
dt.
126
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Při hledání koeficientů vycházíme z identity
2t
2 + 2t + 2 = A(1 + 2t)2 + Bt(1 + 2t) + Ct.
Volba t = 0 dává A = 2 a z volby t = −
1
2 plyne C = −3. Porovnejme ještě
koeficienty u x2
2 = 4A + 2B = 8 + 2B
=⇒
B = −3.
Odtud
I =
Z
2
t
−
3
1 + 2t
−
3
(1 + 2t)2
dt = 2 log |t| −
3
2
log |2t + 1| +
3
2
1
2t + 1
+ C.
Stačí již jen položit t =
√
x2 + x + 1 + x a máme primitivní funkci na (−∞, −1)
nebo na (−1, +∞).
I
Úloha 4.3.10. Spočtěte
R
dx
√
1−2x−x2+1
.
Řešení:
Definiční obor integrandu je (−1 −
√
2, −1 +
√
2). Použijeme druhou
Eulerovu substituci v podobě
p
1 − 2x − x2 = 1 + xt.
Dostáváme
x = −2
t + 1
t2 + 1
,
t =
√
1 − 2x − x2 − 1
x
a
dx
dt
= −2
t2 + 1 − 2t(t + 1)
(t2 + 1)2
=
2t2 + 4t − 2
(t2 + 1)2
.
Druhou substituční metodu budeme aplikovat zvlášť na intervalech (−1 −
√
2, 0)
a (0, −1 +
√
2), přičemž v prvním případě t ∈ (−1, −1 +
√
2) a ve druhém t ∈
(−1 −
√
2, −1). Dostáváme
I : =
Z
dx
√
1 − 2x − x2 + 1
=
Z
1
2 − 2
t2+t
t2+1
2t2 + 4t − 2
(t2 + 1)2
dt
= −
Z
t2 + 2t − 1
(t − 1)(t2 + 1)
dt =
Z
A
t − 1
+
Bt + C
t2 + 1
dt.
Při hledání koeficientů vycházíme z identity
−t2 − 2t + 1 = A(t2 + 1) + Bt(t − 1) + C(t − 1).