Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
.
Odtud
cos
2 x =
1
1 + t2
a
sin
2 x = 1 − cos2 x = 1 −
1
1 + t2
=
t2
1 + t2
.
Po přepisu x = arctan t máme ještě
dx
dt
=
1
1 + t2
.
Příklad 4.3.12. Substituci t = tan x lze užít například na
R
sin
3 x cos x
cos4 x+sin2 x dx. Po
substituci dostáváme
Z
t3
(1 + t2)(1 + t2 + t4)
dt,
což umíme řešit (i když to dá trochu práce).
Poslední substitucí je t = tan
x
2 . Zde dokážeme přímo nahradit sinus i kosinus.
Při odvozování odpovídajících vzorců je opět výhodné začít výrazem 1 + t2. Máme
1 + t
2 = 1 +
sin
2 x
2
cos2
x
2
=
cos2
x
2 + sin
2 x
2
cos2
x
2
=
1
cos2
x
2
.
Nyní již stačí jen použít součtové vzorce
sin x = 2 sin
x
2 cos
x
2 = tan
x
2 cos
2 x
2 =
t
1 + t2
a
cos x = cos
2 x
2 − sin
2 x
2 = 2 cos
2 x
2 − 1 =
2
1 + t2
− 1 =
1 − t2
1 + t2
.
Konečně, podobně jako výše, x = 2 arctan t, tedy
dx
dt
=
2
1 + t2
.
4.3. SUBSTITUCE NA RACIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKCE
129
Poznámka 4.3.13. (i) Čtenář se možná ptá, proč jsme nehovořili o substitucích
t = cot x a t = cot
x
2 . Snadno se dá rozmyslet, že tyto substituce mají velice
podobný efekt jako t = tan x a t = tan
x
2 .
(ii) Substituce t = tan x a t = tan
x
2 zpravidla vedou na lepení.
V následujícím příkladu budeme zkoumat efektivitu jednotlivých substitucí.
Příklad 4.3.14. Uvažme
R
sin x cos x
3+cos2 x dx. Snadno se nahlédne, že je možné použít
všechny čtyři substituce. Začněme substitucí t = sin x
Z
sin x
3 + cos2 x
cos x dx
1.s.m.
=
Z
t
4 − t2
dt =
Z
A
t + 2
+
B
t − 2
dt
=
Z
− 1
2
t + 2
+
− 1
2
t − 2
dt = −
1
2
log |(t + 2)(t − 2)| + C
= −
1
2
log(4 − sin
2 x) + C pro x ∈ R.
Nyní použijeme t = cos x
Z
cos x
3 + cos2 x
sin x dx
1.s.m.
=
−
Z
t
3 + t2
dt = −
1
2
log(3 + t
2) + C
= −
1
2
log(3 + cos
2 x) + C pro x ∈ R.
Druhá substituce vedla na o něco jednodušší postup. Nicméně se nedá očekávat,
že by to mělo být pravidlem.
Uvažme t = tan x. Na intervalech typu (−
π
2 + kπ,
π
2 + kπ), k ∈ Z, dostáváme
Z
tan x cos4 x
3 + cos2 x
1
cos2 x
dx
1.s.m.
=
Z
t
(1+t2)2
3 +
1
1+t2
dt
=
Z
t
(4 + 3t2)(1 + t2)
dt =
Z
At + B
4 + 3t2
+
Ct + D
1 + t2
dt
=
Z
t
1 + t2
−
3t
4 + 3t2
dt =
1
2
log
1 + t2
4 + 3t2
+ C
=
1
2
log
1 + tan2 x
4 + 3 tan2 x
+ C.
Poslední výraz si před lepením zjednodušíme
1
2
log
1 + tan2 x
4 + 3 tan2 x
+ C =
1
2
log
1
3 + cos2 x
+ C.
V tomto případě jsme dokonce dostali spojitou funkci a tím se lepení vyřešilo
samo. Substituce t = tan x má oproti předchozím nevýhodu v nutnosti použití
lepení. Nedává však o mnoho složitější zápis. Například vyjádření sin
2 x = t
2
1+t2
možná na první pohled působí složitějším dojmem, než je vyjádření v případě
sinové substituce. Uvědomme si však, že se zde jedná o vyjádření druhé mocniny
130
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
goniometrické funkce a navíc se činitel
1
1+t2
vyskytuje ve všech vyjádřeních, a
proto se nakonec do značné míry vykrátí.
Přistoupíme nyní k poslední substituci t = tan