Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x=−1 + A · 0 + B2x|x=−1 + C · 0 + D · 0,
tedy
A = B =
1
2
.
Nyní se věnujme hledání primitivních funkcí pro integrandy vzniklé po rozkladu
na parciální zlomky. Reálné kořeny jmenovatele vedou na dva typy úloh, které
umíme snadno řešit:
Z
A
x − αi
dx = A log |x − αi| + C
a
Z
A
(x − αi)m
dx =
−A
m − 1
1
(x − αi)m−1
+ C
4.2. PARCIÁLNÍ ZLOMKY, RACIONÁLNÍ FUNKCE
117
pro m ∈ N \ {1} a x ∈ (−∞, αi) nebo x ∈ (αi, ∞).
Komplexní kořeny vedou na hledání primitivních funkcí dvou typů
Z
Bx + D
x2 + px + q
dx
a
Z
Bx + D
(x2 + px + q)k
dx.
První případ umíme spočítat podle Poznámky 4.1.42 (za pomoci rozdělení na část
dávající logaritmus a část dávající arkustangens). Druhý integrand se přepíše do
tvaru
Z
Bx + D
(x2 + px + q)k
dx =
B
2
Z
2x + p
(x2 + px + q)n
dx +
D −
Bp
2
Z
dx
(x2 + px + q)n
.
Zde na první část použijeme postup z Poznámky 4.1.37 a dostaneme
Z
2x + p
(x2 + px + q)n
dx =
−1
n − 1
1
(x2 + px + q)n−1
+ C.
Konečně, na druhou část aplikujeme převod na čtverec jako v Příkladu 4.1.41 a
po substituci máme
Z
dx
(x2 + px + q)n
=
Z
dx
(x +
p
2 )
2 + q −
p2
4
n
=
Z
dx
(
2x+p
2
)2 +
4q−p2
4
n
=
4
4q − p2
n
Z
dx
(
2x+p
√
4q−p2
)2 + 1
n
1.s.m.
=
"
t =
2x+p
√
4q−p2
”dx =
√
4q−p2
2
dt”
#
=
4
4q − p2
n−
1
2
Z
dt
(1 + t2)n
.
Primitivní funkci úplně napravo umíme určit použitím rekurentní formule získané
v Příkladu 4.1.27 pomocí metody per partes. Umíme tedy vyřešit všechny typy
racionálních lomených funkcí, které se vyskytují na pravé straně formule z Věty o
rozkladu na parciální zlomky (Věta 4.2.4).
Úloha 4.2.9. Spočtěte
R
2x
5 +5x4+7x3+11x2+7x+4
(x+1)2(x2+1)2
dx.
Řešení:
Protože stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele, můžeme použít
Větu o rozkladu na parciální zlomky (Věta 4.2.4). Rozklad hledáme ve tvaru
2x5 + 5x4 + 7x3 + 11x2 + 7x + 4
(x + 1)2(x2 + 1)2
=
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
+
Cx + D
x2 + 1
+
Ex + F
(x2 + 1)2
.
Odtud máme na celém C
2x
5 + 5x4 + 7x3 + 11x2 + 7x + 4 = A(x + 1)(x2 + 1)2 + B(x2 + 1)2
+ (Cx + D)(x + 1)
2(x2 + 1) + (Ex + F )(x + 1)2.
Nejprve položme x = i. Pak
2i + 5 − 7i − 11 + 7i + 4 = −2 + 2i = (Ei + F )(1 + i)
2 = (Ei + F )2i = −2E + 2F i.
118
KAPITOLA 4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
Proto
E = 1
a
F = 1.
Volba x = −1 dává
−2 + 5 − 7 + 11 − 7 + 4 = 4 = 4B
=⇒
B = 1.
Položme x = 0, pak
4 = A + B + D + F = A + 1 + D + 1
=⇒
A + D = 2.
Porovnání koeficientů u x5 dává
2 = A + C
=⇒
D = C.
Konečně porovnání koeficientů u x dává
7 = A + C + 2D + E + 2F = 2 − C + C + 2C + 3
=⇒
C = 1, D = 1 a A = 1.
Celkově máme
2x5 + 5x4 + 7x3 + 11x2 + 7x + 4
(x + 1)2(x2 + 1)2
=
1
x + 1
+
1
(x + 1)2
+
x + 1
x2 + 1
+
x + 1
(x2 + 1)2
.
Zbývá nalézt primitivní funkce na pravé straně.
Z
2x5 + 5x4 + 7x3 + 11x2 + 7x + 4
(x + 1)2(x2 + 1)2
dx
=
Z
dx
x + 1
+
Z
dx
(x + 1)2
+
1
2
Z
2x
x2 + 1
dx +
Z
1
x2 + 1
dx
+
1
2
Z
2x
(x2 + 1)2
dx +
Z
dx
(x2 + 1)2
= log |x + 1| −