Matematická analýza - skripta

a

x := exp(x log a).

Poznámka 3.4.10. (i) Pokud bychom v předchozí definici připustili a = 1, do-
stali bychom dobře definovaný pojem 1x ≡ 1. Chování této funkce je odlišné od
ostatních exponenciál (například není prostá a tudíž není invertovatelná), proto
jsme tento případ vyloučili.
(ii) Definujeme-li číslo e > 1 vlastností log e = 1, dostáváme ex = exp x pro
všechna x ∈ R. V dalším budeme používat obě značení e

x a exp x. Pokud bude

z ∈ C, zápisem e

z budeme vždy myslet exp z.

3.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

87

Tvrzení 3.4.11 (Vlastnosti exponenciály s obecným základem). Mějme a > 0,
a 6= 1. Pak:
(i) zobrazení x 7→ ax je spojité na R
(ii) je-li a > 1, je toto zobrazení rostoucí na R, je-li a < 1, je toto zobrazení
klesající na R
(iii) ax+y = axay a (ab)x = axbx
(iv) Rax = (0, ∞)
(v) (ax)0 = ax log a.

Důkaz. První vlastnost se získá pomocí Věty o spojitosti složené funkce (Věta
3.2.9). Monotonie se získá z toho, že exp a log jsou rostoucí na svých definičních
oborech. Část (iii) plyne z identit z důkazu Tvrzení o obecné mocnině (Tvrzení
3.4.8).

Obor hodnot funkce x 7→ x log a je celé R a protože funkce exp zobrazuje R

na (0, +∞), celkově dostáváme Rax = (0, +∞).

Konečně podle věty o derivaci složené funkce (Věta 3.3.14) máme

(a

x)0 = (exp(x log a))0 = exp0(x log a)(x log a)0 = exp(x log a) log a = ax log a.

Podle předchozího tvrzení je funkce ax invertovatelná. Inverzní funkce se na-

zývá logaritmus se základem a a značíme ji log

a. Pokud a = e, dostáváme nám

dobře známý (přirozený) logaritmus.

Tvrzení 3.4.12 (Vlastnosti logaritmu s obecným základem). Nechť a > 0, a 6= 1.
Potom:
(i) zobrazení log

a je spojité na (0, +∞)

(ii) pro a > 1 je toto zobrazení rostoucí na (0, +∞), pro a < 1 je toto zobrazení
klesající na (0, +∞)
(iii) Rlog

a

= R

(iv) log

a x =

log x
log a

(v) log

a(xy) = loga(x) + loga(y)

(vi) log

0
a x =

1

x log a.

Důkaz. První tři vlastnosti lze snadno získat z Lemmatu o spojitosti inverze
(Lemma 3.3.21) a vlastností exponenciály s obecným základem (Tvrzení 3.4.11).
Dokažme vlastnost (iv). Pro pevné x > 0 označme u = log

a x. Tedy

x = a

u = exp(u log a).

Aplikací funkce log na obě strany rovnosti dostáváme

log x = u log a = log

a x log a.

Odtud již snadno získáme (iv). Poslední dvě vlastnosti plynou ze (iv) a již doká-
zaných vlastností funkce log.

88

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Za pomoci exponenciály se dají definovat hyperbolické funkce a k nim inverzní

funkce hyperbolometrické. Znalost těchto funkcí je užitečná například při počítání
integrálů.

Definice 3.4.13 (Hyperbolické funkce). Funkce hyperbolický sinus, hyperbolický
kosinus, hyperbolický tangens a hyperbolický kotangens jsou definovány předpisy

sinh x =

ex − e−x

2

,

x ∈ R

cosh x =

ex + e−x

2

,

x ∈ R

tanh x =

sinh x

cosh x

,

x ∈ R

coth x =

cosh x

sinh x

,

x ∈ R \ {0}.

Poznámka 3.4.14. Definice je korektní. Skutečně, cosh je kladná funkce a sinh
je nulový pouze v počátku, neboť je to rozdíl rostoucí a klesající funkce, tedy je
rostoucí.