Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Věta 3.4.1 (O funkcích sin a cos). Existují právě dvě funkce sin, cos : R → R
a jediné iracionální číslo π > 0 tak, že platí:
(i) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
∀x, y ∈ R
(ii) cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
∀x, y ∈ R
(iii) sin(−x) = − sin x a cos(−x) = cos x
∀x ∈ R
(iv) sin je rostoucí na [0,
π
2 ]
(v) sin 0 = 0 a sin
π
2 = 1
(vi) sin
0 0 = 1.
Tvrzení 3.4.2. Dále platí:
cos
2 x + sin2 x = 1
∀x ∈ R
(3.4.1)
lim
x→0
sin x
x
= 1
a
lim
x→0
1 − cos x
x2
=
1
2
(3.4.2)
sin
0 x = cos x
a
cos
0 x = − sin x
∀x ∈ R
(3.4.3)
(obě funkce jsou tedy spojité na R)
sin je rostoucí na intervalu [−
π
2 ,
π
2 ] a zobrazuje tento interval na [−1, 1] (3.4.4)
80
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
sin(x + 2π) = sin x
a
cos(x + 2π) = cos(x)
∀x ∈ R,
(3.4.5)
cos je klesající na intervalu [0, π] a zobrazuje tento interval na [−1, 1]. (3.4.6)
Důkaz. Identitu (3.4.1) získáme pomocí (v), (iii) a součtových vzorců
1 = sin
π
2 = sin(
π
2 + 0) = sin
π
2 cos 0 + cos
π
2 sin 0 = cos 0 = cos(x − x)
= cos x cos(−x) − sin x sin(−x) = cos
2 x + sin2 x.
První část (3.4.2) plyne z (v), (vi) a definice derivace. Druhou část získáme z tohoto
výsledku pomocí součtových vzorců a základních vět o limitách
lim
x→0
1 − cos x
x2
= lim
x→0
1 − cos(
x
2 +
x
2 )
x2
= lim
x→0
cos2
x
2 + sin
2 x
2 − (cos
2 x
2 − sin
2 x
2 )
x2
= lim
x→0
2 sin
2 x
2
x2
= lim
x→0
1
2
sin
x
2
x
2
sin
x
2
x
2
=
1
2
.
Identity (3.4.3) získáme z předchozích výsledků následovně
sin
0 x = lim
h→0
sin(x + h) − sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + cos x sin h − sin x
h
= lim
h→0
cos x
sin h
h
+ lim
h→0
sin x
cos h − 1
h2
h = cos x
a
cos
0 x = lim
h→0
cos(x + h) − cos x
h
= lim
h→0
cos x cos h − sin x sin h − cos x
h
= lim
h→0
cos x
cos h − 1
h2
h − lim
h→0
sin x
sin h
h
= − sin x.
Vlastnost (3.4.4) plyne z (iii), (iv), (v) a z Lemmatu o spojitosti inverzní funkce
(Lemma 3.3.21).
Dokažme identity (3.4.5). Předně díky (v) a (3.4.1) máme cos
π
2 = 0. Proto
platí pro všechna x ∈ R
sin(
π
2 + x) = sin
π
2 cos x + cos
π
2 sin x = sin
π
2 cos(−x) + cos
π
2 sin(−x) = sin(
π
2 − x).
Volíme-li v poslední identitě x =
π
2 a pak x =
3π
2 , postupně dostáváme
sin π = 0
a
sin(2π) = 0.
Z výsledku cos
π
2 = 0 ještě získáme
cos π = cos(
π
2 +
π
2 ) = cos
2 π
2 − sin
2 π
2 = −1,
a proto
cos(2π) = cos(π + π) = cos
2 π − sin2 π = 1 − 0 = 0.
Z dosavadních výsledků dále dostáváme
sin(x + 2π) = sin x cos(2π) + cos x sin(2π) = sin x
3.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
81
a
cos(x + 2π) = cos x cos(2π) − sin x sin(2π) = cos x.
Poslední výsledek (3.4.6) plyne z (3.4.4), neboť
cos x = sin x cos
π
2 + sin
π
2 cos x = sin(x +
π
2 ).
− π
2
π
2
π
3π
2
2π
1
−1
cos x
sin x
Obrázek 3.7: Náčrt části grafů funkcí sin a cos.
Když už máme zavedeny funkce sin a cos, můžeme zavést ještě funkce tangens