Matematická analýza - skripta

3

√

1+x−1

x

=

1
3 . Proto položme

˜

f (x) =

( 3

√

1+x−1

x

pro x 6= 0

1
3

pro x = 0

a ukažme, že ˜

f je spojitá na R. Předně ˜

f je spojitá v počátku, neboť jsme ji

definovali tak, aby ˜

f (0) = limx→0 f (x). Pokud x 6= 0, aplikací aritmetiky spojitosti

a Věty o spojitosti složené funkce snadno dokážeme, že x 7→

3

√

1 + x je spojitá v x0.

Konečně, podle aritmetiky spojitosti je i ˜

f spojitá v x0.

I

70

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

Úloha 3.2.12. Riemannova funkce je definována předpisem

R(x) =

(

0

pro x ∈ R \ Q ∪ {0}

1
q

pro x =

p
q , kde p ∈ Z \ {0} a q ∈ N jsou nesoudělná.

Dokažte, že R je spojitá na R \ Q ∪ {0} a nikde jinde spojitá není.

Řešení:

Předně pokud x0 ∈ Q \ {0}, je R(x0) > 0 a zároveň v každém prsten-

covém okolí bodu x0 jsou obsažena iracionální čísla s nulovou funkční hodnotou.
Snadno se proto nahlédne, že R není spojitá v x0.

Nechť naopak x0 ∈ R \ Q ∪ {0}. Zvolme ε ∈ (0,

1
2 ). Nutně pak existuje jen

konečný počet bodů x ∈ P1(x0) (P1(x0) je první nástřel prstencového okolí) tako-
vých, že |R(x) − 0| = R(x) ≥ ε. Skutečně, v takovém případě musí pro jmenovatel
čísla x =

p
q platit q ≤

1
ε . Takových jmenovatelů je jen konečně mnoho a navíc pro

jedno takové q připadá v úvahu jen konečný počet čitatelů. Žádný ze zmíněných
bodů není roven x0, a protože jich je jen konečný počet (navíc podmínka ε <

1
2

zaručuje, že alespoň jeden zmíněný bod v P1(x0) existuje), můžeme mezi nimi
zvolit bod s minimální vzdáleností od bodu x0. Označme tento bod x1. Stačí pak
položit δ = |x1 − x0| a máme

|x − x0| < δ

=⇒

|R(x) − R(x0)| = R(x) < ε.

I

Sekci zakončíme druhou verzí věty o limitě složené funkce.

Věta 3.2.13 (O limitě složené funkce II). Nechť f, g : R → R, x0 ∈ R, dále nechť
limx→x

0 f (x) = A ∈

R a funkce g je spojitá v A. Pak

lim

x→x0

g(f (x)) = g(A).

Důkaz. Zvolme ε > 0. Protože g je spojitá v A, můžeme najít δ > 0 takové, že

y ∈ Uδ(A)

=⇒

g(y) ∈ Uε(g(A)).

Dále protože limx→x

0 f (x)

= A, k výše zvolenému δ > 0 můžeme najít τ > 0

takové, že

x ∈ Pτ (x0)

=⇒

f (x) ∈ Uδ(A).

Celkově pak dostáváme

x ∈ Pτ (x0) =⇒ f (x) ∈ Uδ(A) =⇒ g(f (x)) ∈ Uε(g(A))

a jsme hotovi.

Poznámka 3.2.14. (i) Píšeme-li limy→A g(y) = B, ze spojitosti g v bodě A plyne,
že B = g(A). Závěr věty je tedy stejný jako u první verze Věty o limitě složené
funkce (Věta 3.2.9).

3.3. DERIVACE FUNKCE

71

(ii) Obě věty o limitě složené funkce tedy dávají, že pokud existují dílčí limity ve
správných bodech a platí alespoň jedna z podmínek

(i) vnitřní funkce na jistém prstencovém okolí nenabývá své limitní hodnoty

(ii) vnější funkce je spojitá v A,

pak limx→x

0 g(f (x)) = B .

Příklad 3.2.15. Nechť f (x) = xD(x) a g(y) = y2. Pak

lim

x→0

f (x) = 0,

lim

y→0

g(y) = 0

a g je spojitá v počátku. Proto podle Věty o limitě složené funkce II (Věta 3.2.13)
platí

lim

x→0

(xD(x))

2 = 0.

Verzi s nenabýváním limitní hodnoty nešlo použít, neboť f (x) = 0, kdykoliv x ∈

R \ Q.

3.3

Derivace funkce

Nyní si zavedeme další důležitý pojem, jímž je derivace funkce. Začněme stru-
čnou motivací. Pracujeme-li s afinní funkcí f (x) = ax + b, reálné číslo a nám
poskytuje důležitou informaci o chování této funkce (máme informaci o monotonii
a přírůstcích). Podobnou informaci bychom rádi měli rovněž u funkcí nelineárních.
Uvážíme-li například funkci g(x) = x2, která klesá na (−∞, 0] a roste na [0, ∞),
nelze očekávat, že by se její chování dalo popsat jediným číslem na celém definič-
ním oboru. Na druhou stranu, stále je jistá naděje, že by mohl existovat rozumný
popis chování na malých okolích jednotlivých bodů definičního oboru.