Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Poznámka 3.1.53 (Několik maličkostí k nevlastním limitám). Přestože nevlast-
ním limitám a limitám v nevlastních bodech se budeme věnovat v jedné z dal-
ších kapitol, uvedeme zde několik poznámek, abychom s nimi mohli pracovat ale-
spoň v nejjednodušších situacích. Konkrétně nás budou zajímat nevlastní limity
3.2. SPOJITOST FUNKCE
67
ve vlastních bodech. Předně základní definice pracující s pojmem okolí je stejná
jako v případě vlastní limity. Role ε je však u okolí nekonečna odlišná, nejdůleži-
tější bývají velmi velká ε. Pokud A = +∞, definiční vztah se obvykle přepisuje do
tvaru (abychom nemátli čtenáře velkým ε)
lim
x→x0
f (x) = +∞
⇐⇒
∀K > 0 ∃δ > 0
0 < |x − x0| < δ =⇒ f (x) > K
.
I nevlastní limity se leckdy ověřují z definice. Uvážíme-li například funkci f (x) =
1
|x| , definovanou pro x 6= 0, a x0 = 0, platí
lim
x→0
1
|x|
= ∞,
neboť k zafixovanému K > 0 stačí zvolit δ =
1
K a pak máme
0 < |x| < δ
=⇒
0 < |x| <
1
K
=⇒
1
|x|
> K.
K
x0
x0 − δ
x0 + δ
Obrázek 3.4: Nevlastní limita funkce.
3.2
Spojitost funkce
Při studiu limit složených funkcí jsme zjistili, že je někdy výhodné pracovat s funk-
cemi splňujícími podmínku limx→x
0 f (x) = f (x0 ). Pro tuto podmínku časem na-
jdeme mnoho dalších uplatnění.
Definice 3.2.1 (Spojitost v bodě). Nechť f : R → R a x0 ∈ R. Řekneme, že
funkce f je spojitá v bodě x0, jestliže limx→x
0 f (x) = f (x0 ). Řekneme, že funkce f
je spojitá na M ⊂ R, jestliže je spojitá v x0 pro každé x0 ∈ M .
Poznámka 3.2.2. (i) Spojitost v bodě v sobě nese hned tři informace: funkce
zde musí mít vlastní limitu, musí být v tomto bodě definována a pro obě hodnoty
platí rovnost limx→x
0 f (x) = f (x0 ).
(ii) Spojitost v bodě je velice vzácná vlastnost. I když má funkce v našem bodě
limitu a je v něm definována, jako funkční hodnota připadají v úvahu všechna
68
KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE
reálná čísla a z nich jen jedno jediné se rovná limitě. Toto tvrzení se dá vyslo-
vit pomocí pojmu mohutnosti i přesněji, což dělat nebudeme. Toto pozorování je
v příkrém rozporu s tím, že většinou pracujeme s „pěknýmiÿ funkcemi.
Definice 3.2.3 (Spojitost v bodě zprava/zleva). Nechť f : R → R, x0 ∈ R. Řek-
neme, že funkce f je spojitá v bodě x0 zprava, jestliže limx→x
0 + f (x) = f (x0 ).
Analogicky pro spojitost zleva.
Platí následující analogie Věty o vztahu limity a jednostranných limit (Věta
3.1.16).
Cvičení 3.2.4. Dokažte: funkce f : R → R je spojitá v bodě x0 ∈ R právě tehdy,
když je v bodě x0 spojitá zprava i zleva.
Příklad 3.2.5. (i) Díky výsledkům minulé kapitoly víme, že polynomy jsou spojité
ve všech bodech. Podobně racionální lomené funkce jsou spojité ve všech bodech,
kde se jmenovatel nerovná nule (tam dokonce funkce není ani definována).
(ii) Definujme f (x) =
x
2 −1
x−1 , x 6= 1, a
g(x) = x + 1 =