Matematická analýza - skripta

Tvrzení 3.1.32. Nechť f, g : R → R, x0 ∈ R, A ∈ R a limx→x

0 f (x) = A. Pak

(i) limx→x

0 (f (x) + g(x)) = A + limx→x0 g(x)

(ii) pokud navíc platí A 6= 0, máme limx→x

0 f (x)g(x) = A limx→x0 g(x),

3.1. LIMITA FUNKCE

61

kde v obou případech rovnost navíc chápeme tak, že limita na levé straně existuje
a je konečná právě tehdy, když existuje konečná limx→x

0 g(x).

Důkaz. Nejprve dokažme (i). Pokud existuje konečná limx→x

0 g(x), podle aritme-

tiky limit existuje i limita levé strany a nastává požadovaná rovnost. Pokud exis-
tuje limita levé strany, napíšeme si g(x) = (f (x) + g(x)) − f (x) a opět použijeme
aritmetiku limit.

Zabývejme se tvrzením (ii). Pokud existuje konečná limx→x

0 g(x),

existence

a rovnost plynou z aritmetiky limit. Pokud existuje limita levé strany, napíšeme si
g(x) =

f (x)g(x)

f (x)

a aritmetika limit dokončí důkaz.

Příklad 3.1.33. Pokud bychom dostali variantu Úlohy 3.1.29

lim

x→1

(x + 1)(x3 − 2x2 + x)

(x + 2)(x3 − x2 − x + 1)

nebo

lim

x→1

x + 1

x + 2

+

x3

− 2x2 + x

x3 − x2 − x + 1

,

máme jistotu, že nic nezkazíme prvním krokem výpočtu

lim

x→1

(x + 1)(x3 − 2x2 + x)

(x + 2)(x3 − x2 − x + 1)

= lim

x→1

x + 1

x + 2

lim

x→1

x3 − 2x2 + x

x3 − x2 − x + 1

=

2

3

lim

x→1

x3 − 2x2 + x

x3 − x2 − x + 1

,

respektive

lim

x→1

x + 1

x + 2

+

x3 − 2x2 + x

x3 − x2 − x + 1

= lim

x→1

x + 1

x + 2

+ lim

x→1

x3 − 2x2 + x

x3 − x2 − x + 1

=

2

3

+ lim

x→1

x3 − 2x2 + x

x3 − x2 − x + 1

.

Nyní se zaměříme na vztah limit a nerovností.

Věta 3.1.34 (Zachování nerovnosti při limitním přechodu). Nechť f, g : R → R,
x0 ∈ R, A, B ∈ R, limx→x

0 f (x) = A a limx→x0 g(x) = B . Jestliže f ≤ g na jistém

prstencovém okolí bodu x0, pak A ≤ B.

Důkaz. Pro spor předpokládejme, že B < A. Pak můžeme položit ε =

1
3 (A − B) >

0. Podle předpokladů věty lze nalézt δ > 0 tak malé, že na Pδ(x0) platí

|f (x) − A| < ε,

|g(x) − B| < ε

a

f (x) ≤ g(x).

Odtud

f (x) ≤ g(x) < B + ε = A − 2ε < f (x) − ε,

což vede ke sporu.

Poznámka 3.1.35. (i) V důkazu jsme poněkud zrychlili naši standardní pro-
ceduru při práci s prstencovým okolím. Číslo δ > 0 lze opět volit jako δ =
min{δ1, δ2, δ3}, kde δ1 získáme z limitního chování funkce f , δ2 nám obstará limitní

62

KAPITOLA 3. LIMITA, SPOJITOST, DERIVACE

chování funkce g a δ3 je takové, že f ≤ g na Pδ

3 (x0 ).

(ii) Ostrá nerovnost se při limitním přechodu obecně nezachovává. Stačí uvážit
f ≡ 0 a g(x) = x2. Pak f < g na R \ {0}, ale

lim

x→0

f (x) = 0 = lim

x→0

g(x).

Věta 3.1.36 (O dvou strážnících). Nechť f, g, h : R → R, x0 ∈ R, A ∈ R a nechť
limx→x

0 f (x) = A, limx→x0 h(x) = A. Jestliže f

≤ g ≤ h na jistém prstencovém

okolí bodu x0, pak limx→x

0 g(x) = A.

Důkaz. Zvolme ε > 0. Pro dostatečně malé δ > 0 pak máme na Pδ(x0)

|f (x) − A| < ε,

|h(x) − A| < ε

a

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x).