Matematická analýza - skripta

1
2 ε či

δ = min{1, ε} a ničemu by to nevadilo.

3.1.1

Vlastní limita ve vlastním bodě

Nebude-li výslovně uvedeno jinak, v dalším se budeme věnovat pouze vlastním
limitám ve vlastních bodech. V této situaci máme

x ∈ Pδ(x0)

⇐⇒

0 < |x − x0| < δ

a

f (x) ∈ Uε(A)

⇐⇒

|f (x) − A| < ε.

Poznámka 3.1.9. (i) Stručný zápis definice limity pomocí kvantifikátorů je na-
příklad následující

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ(x0) f (x) ∈ Uε(A).

(3.1.1)

(ii) Snadno se dá nahlédnout, že následující výroky jsou ekvivalentní s definicí
limity

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − A| < ε
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| ≤ δ =⇒ |f(x) − A| < ε
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − A| ≤ ε
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| ≤ δ =⇒ |f(x) − A| ≤ ε
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − A| < 2ε

∃C > 0 ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − A| < Cε

∃ε0 > 0 ∀ε ∈ (0, ε0) ∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − A| < ε.

Cvičení 3.1.10. Dokažte, že všechny výroky v Poznámce 3.1.9 (ii) jsou ekviva-
lentní s definicí limity (3.1.1).

3.1. LIMITA FUNKCE

53

Poznámka 3.1.11. (i) Přestože jsme si ukázali, že v definici limity máme jis-
tou volnost, je stále nutné zachovávat značnou opatrnost. Už například prohození
kvantifikátorů by mělo dalekosáhlé následky. Uvážíme-li například výrok

∃δ > 0 ∀ε > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − A| < ε,

snadno nahlédneme, že je ekvivalentní s

∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − x0| < δ =⇒ f(x) = A,

což je přísnější podmínka, než je definice limity.
(ii) Negace výroku definujícího vlastnost limx→x

0 f (x) = A je

∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ Pδ(x0) f (x) /

∈ Uε(A).

Protože výrok |f (x) − A| ≥ ε implikuje, že |f (x) − A| je větší než všechna čísla
z intervalu (0, ε), negací limx→x

0 f (x) = A je také

∃ε0 > 0 ∀ε ∈ (0, ε0) ∀δ > 0 ∃x ∈ Pδ(x0) |f (x) − A| ≥ ε

(znovu vidíme, že v definici limity jsou důležitá jen velmi malá ε > 0).
(iii) O naší definici limity se někdy říká, že je moderní. Ještě zhruba před dvěma
sty lety by se výrok limx→x

0 f (x) = A definoval jinak a sice velmi dlouhým výčtem

situací.
(iv) Naše definice limity má jednu zvláštnost. Stručný matematický zápis vypadá
takto

lim

x→x0

f (x) = A

def

⇐⇒

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Pδ(x0) f (x) ∈ Uε(A).

Přesto se v definici používá slůvko „ jestližeÿ, které značí implikaci, nikoliv ekviva-
lenci. Tento přístup se používá v definicích napříč celou matematikou a dokonce i
v cizojazyčné literatuře. Domníváme se, že tato zvláštnost v matematické kultuře
může být způsobena tím, že mnoho matematických termínů je reprezentovaných
slovy, která často mají v jiných oborech odlišný význam.