Matematická analýza - skripta

−∞

x

= +∞

a

(+∞) − (−∞) = +∞

(−∞) − (+∞) = −∞.

(ii) Nejsou definované výrazy

(+∞) − (+∞)

(−∞) − (−∞)

±∞
±∞

0 · (±∞)

x

0

±∞

0

.

Na rozšířené reálné ose máme následující důležitý výsledek, který zobecňuje

existenci suprema a infima v R pro omezené množiny.

Tvrzení 2.2.61. Každá podmnožina R

∗ má v R∗ supremum a infimum.

Důkaz. Ukažme nejprve, že existuje supremum. Mohou nastat tři případy. Pokud
je naše množina neprázdná a omezená shora, podle definice reálných čísel má
supremum, které je dokonce reálné. Prázdná množina má supremum −∞, neboť
to je nejmenší horní závora. Konečně, pokud množina není omezená shora, má
jedinou horní závoru ∞. Při důkazu existence infima postupujeme podobně, v
případě zdola omezené neprázdné množiny použijeme Úlohu 2.2.16.

Poznámka 2.2.62. Prázdná množina je jediným případem, kdy neplatí inf M ≤
sup M .

Definice 2.2.63 (Rozšířená komplexní rovina). Množinu C

∗ definujeme jako C∗ =

C ∪ {∞} spolu s pravidly:
(i)

∞

0

= ∞

1

∞

= 0

z

0

= ∞

(ii) jestliže z ∈ C, pak

z + ∞ = ∞

(iii) jestliže z ∈ C \ {0}, pak

z · ∞ = ∞

z

0

= ∞.

Poznámka 2.2.64. Reálná osa je rozšířena o body −∞ a +∞ (korektní značení).
Pokud nehrozí záměna za ∞ ∈ C

∗, je možné zkrátit +∞ ∈ R∗ na ∞. My ale zatím

toto zkrácení používat nebudeme.

44

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Poznámka 2.2.65. Připomeňme si stereografickou projekci z Poznámky 2.2.58.
Potom můžeme chápat obraz bodu ∞ jako severní pól N , současně si také lépe
uvědomíme, proč rozšířená komplexní rovina obsahuje nekonečno jediné.

Nyní přistoupíme k definici pojmu okolí. To nám později umožní elegantně

zadefinovat pojem limity funkce, aniž bychom v definici museli rozlišovat limitu
ve vlastním bodě od limity v bodě nevlastním, stejně tak limitu vlastní od limity
nevlastní.

Definice 2.2.66. Nechť ε > 0 a x ∈ R

∗. Epsilonové okolí bodu x definujeme jako

Uε(x) :=

(x − ε, x + ε)

pro x ∈ R

(ε, +∞]

pro x = +∞

[−∞, −ε)

pro x = −∞.

Levé epsilonové okolí bodu x ∈ (−∞, ∞] definujeme jako

U −

ε (x) :=

(

(x − ε, x]

pro x ∈ R

(ε, +∞]

pro x = +∞.

Analogicky definujeme pravé epsilonové okolí U +

ε (x) bodu x ∈ [−∞, +∞).

Poznámka 2.2.67. V aplikacích nás budou zajímat především velice malá okolí.
Tedy pro x ∈ R bude ε > 0 velice malé číslo. Naopak, například pro x = +∞
se okolí zmenšují (ve smyslu množství bodů obsažených v uvažované množině) se
zvětšujícím se ε. Protože v matematice je zvykem, že znak ε reprezentuje velmi
malé číslo, raději v takové situaci budeme používat značení UK (∞) = (K, +∞].

Zavedeme si ještě pojem prstencového okolí (někdy se mu též říká okolí redu-

kované), které získáme tak, že z klasického okolí vypustíme bod x.