Matematická analýza - skripta

2x

1+|x| .

Není vůbec zřejmé, že mohutnost libovolné dvojice množin lze porovnat. Po-

kud se připustí axiom výběru (pro každou neprázdnou třídu neprázdných množin
existuje funkce, která z každé množiny tohoto souboru vybírá právě jeden prvek),
dá se ukázat, že pro každou dvojici množin A, B platí právě jedna z možností
m(A) < m(B), m(A) = m(B), m(A) > m(B). Blíže se lze o tom dočíst například
v [BaSt TeMno].

V dalším se budeme zabývat mohutností N. Pokud jsou tvrzení uvedena bez

důkazu, je možno je nalézt například v [BaSt TeMno] či v [Ja DPI].

Tvrzení 2.2.74. Každá nekonečná podmnožina N má stejnou mohutnost jako N.

Ostatní podmnožiny N jsou konečné, proto mají mohutnost menší (neostrou

nerovnost mezi mohutnostmi nám dá identita, navíc žádnou konečnou množinu
zřejmě nemůžeme prostě zobrazit na celé N). Platí dokonce následující tvrzení.

46

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

Tvrzení 2.2.75. Žádná nekonečná množina nemůže mít menší mohutnost než N.

Definice 2.2.76 (Spočetné a nespočetné množiny). Množina se nazývá spočetná,
má-li stejnou mohutnost jako N. Množina, která má konečný počet prvků se nazývá
konečná. Množina, která je konečná nebo spočetná se nazývá nejvýše spočetná,
ostatní množiny se nazývají nespočetné. Značí se m(N) = ℵ0.

Poznámka 2.2.77. (i) Symbol ℵ označuje první písmeno hebrejské abecedy alef.
(ii) Spočetnost je v matematice velice důležitá vlastnost. Znamená, že je možné
prvky dané množiny seřadit do nekonečné posloupnosti.

Tvrzení 2.2.78. (i) Spočetná množina nemůže obsahovat nespočetnou podmno-
žinu.
(ii) Každá nekonečná množina obsahuje spočetnou podmnožinu.
(iii) Každá nekonečná podmnožina spočetné množiny je spočetná.
(iv) Sjednocení nejvýše spočetného systému spočetných množin je spočetné.

Důkaz. Ukážeme si důkaz čtvrtého tvrzení neboť obsahuje velice důležitou kon-
strukci. Nechť máme spočetné množiny A1, A2, . . . a jejich prvky jsou číslovány
metodou Ai = {a

i

1, a

i

2, . . . }. Sjednocení seřadíme následující diagonální metodou

(modifikace konstrukce v případě konečného počtu množin je jasná)

a

1
1, a

2
1, a

1
2, a

3
1, a

2
2, a

1
3, a

4
1, a

3
2, a

2
3, a

1
4, . . . .

Pro lepší představu možná poslouží ilustrace na Obrázku 2.2.

a1

1

a1

2

a1

3

a1

4

. . .

a2

1

a2

2

a2

3

a2

4

. . .

a3

1

a3

2

a3

3

a3

4

. . .

a4

1

a4

2

a4

3

a4

4

. .

..

.

..

.

..

.

..

.

. .

.

Obrázek 2.2: Seřazení do posloupnosti.

Poznámka 2.2.79. Pomocí diagonální metody z důkazu předchozího tvrzení lze
snadno dokázat, že N

2 je spočetná. Odtud je již jen krůček k tomu, abychom

si uvědomili, že množina racionálních čísel je spočetná. Není také těžké metodu
modifikovat pro důkaz spočetnosti N

3, potažmo Nk s libovolným pevným k ∈ N.

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

47

Tvrzení 2.2.80. Množina R je nespočetná.

Důkaz. Stačí ukázat, že interval (0, 1) je nespočetný. Každé číslo z intervalu (0, 1)
můžeme reprezentovat jeho nekonečným desetinným rozvojem (je-li konečný, do-
plníme nuly). Toto přiřazení bude jednoznačné, odstraníme-li desetinné rozvoje,
obsahující od určité pozice samé devítky. Předpokládejme pro spor, že (0, 1) je
spočetný. Pak můžeme všechny jeho prvky seřadit do posloupnosti. Máme tedy