Matematická analýza - skripta

Definice 2.2.68. Nechť ε > 0 a x ∈ R

∗. Epsilonové prstencové okolí bodu x defi-

nujeme jako Pε(x) := Uε(x) \ {x}. Analogicky definujeme jednostranná prstencová
okolí.

Poznámka 2.2.69. Pokud se mluví o redukovaném okolí, často se používá místo
Pε(x) značení U∗ε(x).

Zavedeme si ještě okolí pro komplexní čísla. Přístup bude podobný jako u

reálných čísel. Epsilonovým okolím bodu z ∈ C

∗ bude kruh se středem z a po-

loměrem ε. Epsilonovým okolím bodu z ∈ C bude doplněk kruhu se středem
v počátku a poloměrem ε. Protože na C nemáme uspořádání, nic jako jednostranné
okolí zde nedefinujeme.

Definice 2.2.70. Nechť ε > 0 a z ∈ C

∗. Epsilonové okolí bodu z definujeme jako

Uε(z) :=

(

{w ∈ C : |w − z| < ε}

pro z ∈ C

{w ∈ C : |w| > ε}

S{∞}

pro z = ∞.

Epsilonové prstencové okolí bodu z definujeme jako Pε(z) := Uε(z) \ {z}.

2.2. ČÍSELNÉ OBORY

45

2.2.7

Mohutnost množin, spočetné a nespočetné množiny

Cílem této kapitoly je naučit se porovnávat množiny podle počtu jejich prvků. U
konečných množin se jejich mohutnost definuje jako počet jejich prvků. V případě
nekonečné množiny budeme chtít mohutnost definovat tak, aby měla větší vypoví-
dací hodnotu, než je informace, že uvažovaná množina je nekonečná. O složitosti
našeho úkolu vypovídá následující jednoduchý příklad. Uvažme množinu sudých
přirozených čísel. Na jednu stranu se na tuto množinu dá pohlížet tak, že vznikla
z množiny přirozených čísel odstraněním čísel lichých, a proto by měla mít menší
mohutnost než má N. Na druhou stranu uvedená množina mohla také být zkonstru-
ována tak, že jsme do ní umístili dvojnásobek každého přirozeného čísla a pak by
měla mít stejnou mohutnost jako N. Jako rozumná se ukazuje následující definice.

Definice 2.2.71 (Mohutnost množin). Nechť A, B jsou dvě množiny. Řekneme,
že A má stejnou nebo menší mohutnost než B, píšeme m(A) ≤ m(B), jestliže
existuje prosté zobrazení množiny A do množiny B.
Řekneme, že A má stejnou mohutnost jako B, píšeme m(A) = m(B), jestliže
existuje prosté zobrazení množiny A na množinu B.
Řekneme, že A má menší mohutnost než B, píšeme m(A) < m(B), jestliže m(A) ≤
m(B) a neplatí m(A) = m(B).

Velice užitečná je následující věta. Její důkaz je možno nalézt například v mo-

nografii [BaSt TeMno].

Věta 2.2.72 (Cantor–Bernsteinova věta). Nechť A, B jsou dvě množiny. Jestliže
m(A) ≤ m(B) a m(B) ≤ m(A), pak m(A) = m(B).

Příklad 2.2.73. (i) Položme A = {k2 : k ∈ N}. Pak m(A) = m(N), neboť napří-
klad k 7→ k2 je zobrazuje prostě N na A.
(ii) Položme A = {1, 2, 3}. Pak m(A) ≤ m(N), neboť například identita zobra-
zuje A do N. Na druhou stranu jakékoliv zobrazení A do N zobrazuje A na nejvýše
tříprvkovou (tedy vlastní) podmnožinu N, proto m(A) < m(N).
(iii) Nechť A = (−1, 1). Pak m(A) = m(R) díky funkci x 7→