Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n
√
a1a2 . . . an ≤
a1 + a2 + · · · + an
n
.
(2.2.11)
Řešení:
Důkaz bude proveden nestandardní verzí matematické indukce. Nejprve
si povšimněme, že tvrzení pro n = 1 je zřejmé (dokonce platí rovnost) a pro n = 2
se snadno získá z Youngovy nerovnosti. Pro přehlednost v dalším označujme P (n)
A-G nerovnost pro n čísel, tj. vztah (2.2.11).
Ukažme nejprve, že P (n) ⇒ P (2n) pro n ≥ 2. Nechť tedy a1, . . . , a2n ≥ 0 a
platí P (n). Nerovnost P (n) použijeme jednak na a1, . . . , an, pak na an+1, . . . , a2n
a nakonec ještě na výsledek aplikujeme P (2)
2n
√
a1 . . . a2n =
q
n
√
a1 . . . an n
√
an+1 . . . a2n ≤
r a
1 + · · · + an
n
·
an+1 + · · · + a2n
n
≤
a1+···+an
n
+
an+1+···+a2n
n
2
=
a1 + · · · + a2n
2n
.
2.2. ČÍSELNÉ OBORY
39
Platí tedy P (2n) a požadovaná implikace je dokázána. Dále dokážeme, že P (n +
1) ⇒ P (n) pro n ≥ 1. Nechť tedy a1, . . . , an ≥ 0 a platí P (n + 1). Položme ještě
an+1 = n
√
a1 . . . an a použijme P (n + 1)
n+1
q
a1 . . . an n
√
a1 . . . an ≤
a1 + · · · + an + n
√
a1 . . . an
n + 1
.
Tuto nerovnost přepíšeme jako
n
√
a1 . . . an = (a1 . . . an)
1
n+1 +
1
n(n+1)
≤
a1 + · · · + an
n + 1
+
1
n + 1
n
√
a1 . . . an.
Nyní již stačí od obou stran odečíst
1
n+1
n
√
a1 . . . an, výslednou nerovnost vynásobit
n+1
n
a získáme P (n).
Tím je důkaz dokončen, neboť platí P (1) a P (2), dále díky druhému indukč-
nímu kroku platí P (2k) pro všechna k ∈ N a tím pádem díky třetímu indukčnímu
kroku platí P (n) pro všechna n ∈ N.
I
Poznámka 2.2.50. V posledním kroku by k cíli vedla i volba an+1 =
a1+···+an
n
.
2.2.5
Komplexní čísla
Definice 2.2.51 (Komplexní čísla). Množinou komplexních čísel nazveme množi-
nu
C = {z = (z1, z2) : z1, z2 ∈ R}
s operací sčítání označenou + a operací násobení označenou · definovanými před-
pisy
z + w = (z1, z2) + (w1, w2) := (z1 + w1, z2 + w2)
z · w = (z1, z2) · (w1, w2) := (z1w1 − z2w2, z1w2 + z2w1).
Poznámka 2.2.52. (i) Reálná čísla můžeme považovat za podmnožinu komplex-
ních čísel; stačí zapsat reálné číslo jako (x, 0).
(ii) Z definice plyne (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0). Pokud označíme i = (0, 1) a komplexní
čísla stručně píšeme ve tvaru
(z1, z2) = z1(1, 0) + z2(0, 1) = z1 + iz2
(namísto (1, 0) píšeme 1), dostáváme i · i = (−1, 0) = −1 a máme standardní
kalkulus komplexních čísel ze střední školy.
(iii) Pokud z = z1 + iz2, číslo z1 se nazývá reálná složka komplexního čísla z a
značí se Re z. Číslo z2 se nazývá imaginární složka komplexního čísla z a značí se
Im z. Tedy z = Re z + i Im z.
(iv) Přímým výpočtem se dá ověřit, že komplexní čísla splňují podmínky (A1)
až (A5), (P1) až (P5) a (D1) z definice reálných čísel. Potíže může dělat snad
jedině hledání inverzního prvku vůči násobení. Připomeňme tedy metodu rozšíření
zlomku
1
z1 + iz2
=