Matematická analýza - skripta

Řešení:

Dokažme, že n2 < 2n platí právě tehdy, když

n ∈ {1} ∪ {n ∈ N : n ≥ 5}.

Nejprve dosazením snadno ověříme, že nerovnost platí pro n = 1, 5 a neplatí pro
n = 2, 3, 4. Matematickou indukcí dokážeme, že požadovaná nerovnost platí pro
n ≥ 5. Pro n = 5 jsme nerovnost ověřili dosazením, zbývá ověřit indukční krok.
Předpokládejme, že platí n2 < 2n. Chceme ukázat (n + 1)2 < 2n+1. Podle (2.2.3)
nám tedy stačí ukázat, že pro všechna n ≥ 5 platí

(n + 1)

2 − n2 ≤ 2n+1 − 2n,

což je totéž jako

2n + 1 ≤ 2

n.

(2.2.5)

Tuto nerovnost dokážeme indukcí. Nerovnost (2.2.5) zřejmě platí pro n = 5, zbývá
indukční krok. Podle (2.2.2) nám stačí ukázat, že pro n ≥ 5 máme

2 = (2n + 3) − (2n − 1) ≤ 2

n+1 − 2n = 2n,

32

KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD

což je zřejmě pravda. Tím jsme dokázali nerovnost (2.2.4) pro n ≥ 5 a díky tomu
máme i

n

2 < 2n =⇒ (n + 1)2 < 2n+1

pro všechna n ≥ 5.

Tím je důkaz dokončen.

I

Pokud chceme, co nejkratší a nejlépe čitelný důkaz, přeskupíme jej tak, aby

měl co nejjednodušší myšlenkovou stavbu.

Řešení:

Dokažme, že n2 < 2n platí právě tehdy, když

n ∈ {1} ∪ {n ∈ N : n ≥ 5}.

Nejprve si indukcí dokažme pomocné tvrzení

2n + 1 ≤ 2

n

pro všechna n ≥ 5.

(2.2.6)

Pro n = 5 tvrzení zřejmě platí. Předpokládejme, že pro jisté n ≥ 5 je splněno
2n + 1 ≤ 2n. Sečteme-li tuto nerovnost se zřejmou nerovností 2 ≤ 2n, dostáváme

2n + 3 ≤ 2

n+1,

čímž jsme ověřili indukční krok a máme tedy dokázáno (2.2.6).

Přistupme nyní k důkazu požadované nerovnosti. Nejprve dosazením snadno

ověříme, že nerovnost platí pro n = 1, 5 a neplatí pro n = 2, 3, 4. Pokračujeme
matematickou indukcí. Pro n = 5 jsme nerovnost ověřili dosazením, zbývá ověřit
indukční krok. Předpokládejme, že platí n2 < 2n. Sečteme-li tuto nerovnost s
nerovností (2.2.6), dostáváme

(n + 1)

2 = n2 + 2n + 1 < 2n + 2n = 2n+1,

čímž jsme ověřili indukční krok a máme tedy dokázáno, že n2 < 2n pro n ≥ 5 a
důkaz je dokončen.

I

2.2.3

Vlastnosti reálných, racionálních a přirozených čísel

Tvrzení 2.2.30. (i) Pro každé x ∈ R existuje n ∈ N takové, že n > x.
(ii) Pro každé x ∈ R a každé ε > 0 existuje n ∈ N takové, že εn > x.

Důkaz. Pokud by první tvrzení nebylo pravdivé, potom nalezneme x ∈ R takové, že
je horní závora N. Potom nutné existuje n0 ∈ N takové, že n0 ≥ n pro všechna n ∈
N. To by ale znamenalo, že N je shora omezená množina, což je spor (připomeňme
Tvrzení 2.2.25).

Zafixujme x ∈ R a ε > 0. Protože

x

ε ∈ R, podle právě dokázaného výsledku

existuje n ∈ N splňující n >

x

ε . Poslední nerovnost je ale ekvivalentní s dokazova-

nou nerovností εn > x. Tím je důkaz dokončen.

Kromě toho, že budeme pracovat spíše s implikacemi než s ekvivalencemi, mno-

hem častěji se budeme setkávat s nerovnostmi než s rovnostmi. Rovnosti se často
dokazují pomocí antisymetrie neostré nerovnosti, neboli rovnost a = b získáme