Matematická analýza - skripta
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z w = (z1 − iz2)(w1 − iw2) = z1w1 − z2w2 − iz1w2 − iz2w1.
Šesté tvrzení dostaneme ze třetího, pátého a druhého
z
w
=
zw
|w|2
=
1
|w|2
zw =
1
|w|2
z w =
1
ww
zw =
z
w
.
Poslední tvrzení se snadno dokáže matematickou indukcí za pomoci tvrzení (v).
Poznámka 2.2.57. Připomeňme, že komplexní číslo z se dá přepsat do takzva-
ného goniometrického tvaru
z = |z|(cos α + i sin α),
kde úhel α je určen jednoznačně až na přičtení libovolného (třeba i záporného)
násobku čísla 2π. To nám umožňuje reprezentovat komplexní číslo jako bod roviny,
která se nazývá komplexní rovina nebo též Gaussova rovina. Máme-li ještě dáno
w = |w|(cos β + i sin β), pak Moivreova věta říká, že
zw = |z||w|(cos(α + β) + i sin(α + β)).
Moivreova věta se často používá při hledání komplexních odmocnin. Na důkaz této
věty zatím nejsme vybaveni, neboť používá hlubší výsledky o chování funkce exp.
42
KAPITOLA 2. MATEMATICKÝ ÚVOD
Poznámka 2.2.58. Množina komplexních čísel bývá ztotožňována s jednotkovou
sférou v R
3 s vynechaným severním pólem, která je umístěna tak, že komplexní
rovina sféru protíná na rovníku a střed sféry odpovídá bodu 0 + i0 ∈ C. Tomuto
ztotožnění se říká stereografická projekce a je definováno tak, že každému bodu
z ∈ C přiřadíme průsečík naší sféry a polopřímky vycházející ze severního pólu a
procházející bodem z. Body, pro něž platí |z| = 1 (tedy leží na rovníku), se zobrazí
sami na sebe. Body, pro něž platí |z| < 1, se zobrazí na jižní polokouli, přičemž čím
blíže jsou k počátku, tím blíže je jejich obraz k jižnímu pólu a samotný počátek se
zobrazuje na jižní pól. Body, pro něž platí |z| > 1, se zobrazí na severní polokouli,
přičemž čím je jejich velikost větší, tím blíže je jejich obraz k severnímu pólu.
&%
'$
A
A
A
A
A
N
S
w
w’
z
z’
Obrázek 2.1: Stereografická projekce.
2.2.6
Rozšířená reálná osa a komplexní rovina, okolí bodu
v R, C, R
∗ a C∗
Definice 2.2.59 (Rozšířená reálná osa). Množinu R
∗ = [−∞, ∞] definujeme jako
R
∗ = R ∪ {−∞, +∞} spolu s pravidly:
(i) jestliže x ∈ R, pak
x + (+∞) = +∞
x + (−∞) = −∞
pro x > 0 navíc
x · (+∞) = +∞
x · (−∞) = −∞
a pro x < 0 navíc
x · (+∞) = −∞
x · (−∞) = +∞
(ii) definujeme následující operace mezi prvky −∞ a +∞
(+∞) + (+∞) = +∞
−∞ + (−∞) = −∞
1
+∞
=
1
−∞
= 0
(+∞) · (+∞) = +∞
(−∞) · (−∞) = +∞
(+∞) · (−∞) = −∞
(iii) v předchozích pravidlech platí komutativita použitých operací
(iv) pro všechna x ∈ R zavádíme −∞ < x < +∞.
2.2. ČÍSELNÉ OBORY
43
Poznámka 2.2.60. (i) Z předchozí definice plynou ještě pravidla pro odčítání a
dělení
x − (+∞) = −∞
x − (−∞) = +∞
x
+∞
=
x
−∞
= 0
pro x > 0
+∞
x
= +∞
−∞
x
= −∞
pro x < 0
+∞
x
= −∞